Решение: На поверхности водоема глубиной 5,3 м плавает круг радиусом 1 м, над центром которого

Условие задачи:

На поверхности водоема глубиной 5,3 м плавает круг радиусом 1 м, над центром которого на некоторой высоте \(h\) расположен точечный источник света. Каково должно быть \(h\), чтобы радиус тени от круга на дне водоема был максимальным? Найти этот радиус.

Задача №10.3.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=5,3\) м, \(R=1\) м, \(h-?\), \(r-?\)

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) — угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.

Радиус тени от круга на дне водоема будет тем больше, чем больше длина \(l\) (смотрите рисунок слева), причем последняя будет тем больше, чем больше угол \(\beta\). Из закона преломления (1) прекрасно видно, что углы \(\alpha\) и \(\beta\) находятся в прямой зависимости друг от друга, значит угол \(\beta\) принимает максимальное значение, когда угол \(\alpha\) равен 90°, то есть источник света расположен прямо на круге. Значит \(h=0\).

Искомый радиус тени от круга на дне водоема \(r\) можно найти по формуле (см. рисунок справа):

\[r = R + l\;\;\;\;(2)\]

Из прямоугольного треугольника:

\[l = H \cdot tg\beta\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[r = R + H \cdot tg\beta \]

Из уравнения (1) найдем угол \(\beta\):

\[\sin \beta = \frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}\]

\[\beta = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}} \right)\]

Окончательно имеем:

\[r = R + H \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}} \right)} \right)\]

Посчитаем численный ответ: