Решение: На каком расстоянии от дифракционной решетки надо поставить экран, чтобы расстояние

Условие задачи:

На каком расстоянии от дифракционной решетки надо поставить экран, чтобы расстояние между неотклоненным изображением и изображением 12-го порядка было равно 60 мм для волны длиной 0,5 мкм? Постоянная решетки 0,01 мм.

Задача №10.7.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(k=12\), \(l=60\) мм, \(\lambda=0,5\) мкм, \(d=0,01\) мм, \(L-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(d\) — период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума (в данной задаче \(k=12\)), \(\lambda\) — длина волны, падающей нормально на решетку.

Если расписать синус угла дифракции (см. рисунок к задаче), то имеем:

\[d\frac{l}{{\sqrt {{L^2} + {l^2}} }} = k\lambda \]

Осталось из полученной формулы выразить искомое расстояние \(L\), для чего возведем в квадрат обе части уравнения:

\[\frac{{{d^2}{l^2}}}{{{L^2} + {l^2}}} = {k^2}{\lambda ^2}\]

Тогда:

\[{L^2} + {l^2} = \frac{{{d^2}{l^2}}}{{{k^2}{\lambda ^2}}}\]

\[{L^2} = \frac{{{d^2}{l^2}}}{{{k^2}{\lambda ^2}}} — {l^2}\]

\[{L^2} = {l^2}\left( {\frac{{{d^2}}}{{{k^2}{\lambda ^2}}} — 1} \right)\]

Окончательно получим:

\[L = l\sqrt {\frac{{{d^2}}}{{{k^2}{\lambda ^2}}} — 1} \]

Задача решена в общем виде, подставим данные из условия в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[L = 0,06 \cdot \sqrt {\frac{{{{\left( {0,01 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2}}}{{{{12}^2} \cdot {{\left( {0,5 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}^2}}} — 1} = 0,08\;м = 8\;см\]