Решение: Луч света входит в стеклянную призму под углом π/6 и выходит из призмы в воздух

Условие задачи:

Луч света входит в стеклянную призму под углом \(\frac{\pi}{6}\) и выходит из призмы в воздух под углом \(\frac{\pi}{3}\), причем, пройдя призму, отклоняется от первоначального направления на угол \(\frac{\pi}{4}\). Найдите преломляющий угол призмы.

Задача №10.3.39 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=\frac{\pi}{6}\), \(\delta=\frac{\pi}{3}\), \(\theta=\frac{\pi}{4}\), \(\varphi-?\)

Решение задачи:

Сделаем к этой задаче рисунок, без него решить задачу невозможно. В задаче очень много геометрии и практически нет физики. Итак, начнем.

Рассмотрим треугольник AOC (смотрите рисунок 1). Искомый угол \(\theta\) является смежным для этого треугольника, поэтому справедливо:

\[\theta = \left( {\alpha — \beta } \right) + \left( {\delta — \gamma } \right)\]

\[\theta = \alpha + \delta — \left( {\beta + \gamma } \right)\;\;\;\;(1)\]

Далее рассмотрим четырёхугольник ABCD (смотрите рисунок 2). В этом четырехугольнике два угла — прямые, поэтому угол ABC равен \(\left( {180^\circ — \varphi } \right)\). На этом рисунке теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому будет верно записать:

\[\beta + \gamma + \left( {180^\circ — \varphi } \right) = 180^\circ \]

\[\varphi = \beta + \gamma \;\;\;\;(2)\]

Тогда уравнение (1) примет вид:

\[\theta = \alpha + \delta — \varphi\]

Откуда получим:

\[\varphi = \alpha + \delta — \theta \]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\varphi = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} — \frac{\pi }{4}\]

\[\varphi = \frac{{2\pi + 4\pi — 3\pi }}{{12}}\]

\[\varphi = \frac{{3\pi }}{{12}}\]

\[\varphi = \frac{\pi }{4}\]