Решение: Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с помощью дифракционной решетки

Условие задачи:

Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с помощью дифракционной решетки, имеющей 500 штрихов на 1 мм, при освещении её светом с длиной волны 720 нм?

Задача №10.7.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=500\), \(l=1\) мм, \(\lambda=720\) нм, \(k_{\max}-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(d\) — период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума, \(\lambda\) — длина волны, падающей нормально на решетку.

Период (постоянную) решетки \(d\) можно определить, разделив некоторую длину решетки \(l\) (в данном случае — 1 мм) на количество содержащихся на этой длине штрихов \(N\), то есть:

\[d = \frac{l}{N}\;\;\;\;(2)\]

Подставим (2) в (1), тогда будем иметь:

\[\frac{l}{N}\sin \varphi = k\lambda \]

Для нахождения максимального порядка дифракционного спектра необходимо воспользоваться следующими соображениями. Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому нужно определить порядок дифракционного максимума для \(\varphi=90^\circ\), то есть \(\sin \varphi = 1\). Для нахождения наибольшего порядка дифракционного спектра, нужно взять целую часть полученного числа. Ни в коем случае не округляйте в большую сторону! В таком случае при подстановке вашего наибольшего порядка в формулу дифракции Вы будете получать синус больше 1, чего быть не должно!

Итак, если \(\sin \varphi = 1\), то:

\[\frac{l}{N} = k\lambda \]

Откуда:

\[k = \frac{l}{{\lambda N}}\]

Подставим численные данные задачи в эту формулу:

\[k = \frac{{{{10}^{ — 3}}}}{{720 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 500}} = 2,77 = 2\]

Взяв целую часть числа, получим \(k_{\max}=2\).