Решение: Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения

Условие задачи:

Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения какого-нибудь предмета в натуральную величину предмет этот должен быть помещен на расстоянии 20 см от линзы?

Задача №10.5.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma = 1\), \(d=20\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Собирающая линза может получить изображение предмета в натуральную величину только для действительного изображения, поэтому предмет должен находиться левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Поперечное увеличение линзы \(\Gamma\) определяют по следующей формуле (она выводится из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Выражение (2) подставим в формулу (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}\]

Приведем под общий знаменатель в правой части уравнения:

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[\Gamma d = F\left( {\Gamma + 1} \right)\]

Откуда получим такую формулу:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma + 1}}\]