Решение: Какова истинная глубина водоема, если камень, лежащий на дне его, при рассматривании

Условие задачи:

Какова истинная глубина водоема, если камень, лежащий на дне его, при рассматривании по вертикали, кажется находящимся на расстоянии 1,5 м?

Задача №10.3.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$h=1,5$ м, $H-?$

Решение задачи:

Для решения задачи сделаем рисунок. При этом для решения этой задачи нам нужно рассмотреть ход параксиального луча, то есть луча, который распространяется под малым углом к оси OO₁. На рисунке углы $\alpha$ и $\beta$ не являются малыми, это сделано исключительно для наглядности рисунка.

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

${n_2}\sin \alpha = {n_1}\sin \beta$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — угол падения и угол преломления соответственно, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_1$ равен 1, показатель преломления воды $n_2$ равен 1,33.

Так как углы $\alpha$ и $\beta$ являются малыми, тогда можно воспользоваться тем, что в таком случае $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\sin \beta \approx \beta$ (здесь углы, разумеется, выражены в радианах). Тогда:

${n_2}\alpha = {n_1}\beta$

$\beta = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\alpha \;\;\;\;(1)$

Также из прямоугольных треугольников можно получить следующее:

$\left\{ \begin{gathered} tg\alpha = \frac{L}{H} \hfill \\ tg\beta = \frac{L}{h} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Имеем:

$\left\{ \begin{gathered} L = H \cdot tg\alpha \hfill \\ L = h \cdot tg\beta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$H \cdot tg\alpha = h \cdot tg\beta$

Опять же, если углы $\alpha$ и $\beta$ являются малыми, тогда можно воспользоваться тем, что в таком случае $tg \alpha \approx \alpha$ и $tg \beta \approx \beta$ (здесь углы, разумеется, выражены в радианах).