Решение: Какое линейное увеличение можно получить при помощи проекционного аппарата

Условие задачи:

Какое линейное увеличение можно получить при помощи проекционного аппарата, если расстояние от объектива до экрана 12 м, а фокусное расстояние объектива 80 см?

Задача №10.5.65 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(f=12\) м, \(F=80\) см, \(\Gamma-?\)

Решение задачи:

Определенно ясно, что в проекционном аппарате установлена собирающая линза, поскольку рассеивающая линза не может давать увеличенного изображения предмета.

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\;\;\;\;(1)\]

Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из формулы (2) нам нужно выразить неизвестное расстояние \(d\):

\[\frac{1}{d} = \frac{1}{F} — \frac{1}{f}\]

\[\frac{1}{d} = \frac{{f — F}}{{fF}}\]

\[d = \frac{{fF}}{{f — F}}\]

Подставим полученное выражение в формулу (1):

\[\Gamma = \frac{{f\left( {f — F} \right)}}{{fF}}\]

Откуда получим такую окончательную формулу:

\[\Gamma = \frac{{f — F}}{F}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[\Gamma = \frac{{12 — 0,8}}{{0,8}} = 14\]