Решение: Фотоаппаратом с расстояния 500 м сделан снимок телебашни. Фокусное расстояние

Условие задачи:

Фотоаппаратом с расстояния 500 м сделан снимок телебашни. Фокусное расстояние объектива 50 мм. Какова высота телебашни, если высота изображения на кадре 36 мм?

Задача №10.5.66 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=500\) м, \(F=50\) мм, \(h=36\) мм, \(H-?\)

Решение задачи:

В фотоаппарате установлена собирающая линза, поскольку только она может давать действительное изображение. При этом предмет расположен левее относительно переднего фокуса линзы (\({d} > {F}\)), это понятно даже из условия задачи.

Чтобы построить изображение точки A (вершины телебашни) в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение телебашни построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и уменьшенным (так как \({d} > {2F}\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению линзы \(\Gamma\)):

\[\frac{h}{H} = \frac{f}{d}\]

Тогда искомую высоту телебашни будем искать по формуле:

\[H = h\frac{d}{f}\;\;\;\;(2)\]

Тогда из формулы (1) нам нужно выразить расстояние от линзы до изображения \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} — \frac{1}{d}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{{d — F}}{{dF}}\]

\[f = \frac{{dF}}{{d — F}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[H = h\frac{{d\left( {d — F} \right)}}{{dF}}\]

\[H = h\frac{{d — F}}{F}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):