Решение: Воздух в сосуде объемом 5 л находится при температуре 27 C под давлением 2 МПа

Условие задачи:

Воздух в сосуде объемом 5 л находится при температуре 27° C под давлением 2 МПа. Какую массу воздуха надо выпустить из сосуда, чтобы давление в нём упало до 1 МПа?

Задача №4.2.59 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=5\) л, \(t=27^\circ\) C, \(p_1=2\) МПа, \(p_2=1\) МПа, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Пусть \(m\) — начальная масса воздуха в сосуде, а \(\Delta m\) — масса выпущенной из сосуда части воздуха. Температуру газа в процессе будет считать постоянной. Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояния воздуха:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{m}{M}RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_2}V = \frac{{m — \Delta m}}{M}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда получим такое равенство:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{m — \Delta m}}{m}\]

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = 1 — \frac{{\Delta m}}{m}\]

\[\frac{{\Delta m}}{m} = 1 — \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\]

\[\Delta m = m\left( {1 — \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right) \;\;\;\;(2)\]

Неизвестную начальную массу воздуха в сосуде \(m\) найдём из уравнения (1):

\[m = \frac{{{p_1}VM}}{{RT}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2) — так мы получим решение задачи в общем виде:

\[\Delta m = \frac{{{p_1}VM}}{{RT}}\left( {1 — \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)\]

Перед подстановкой численных значений величин в формулу некоторые из них (объем \(V\) и температуру \(t\)) нужно перевести в систему СИ:

\[5\;л = 0,005\;м^3\]

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

Произведём вычисления:

\[\Delta m = \frac{{2 \cdot {{10}^6} \cdot 0,005 \cdot 0,029}}{{8,31 \cdot 300}}\left( {1 — \frac{{1 \cdot {{10}^6}}}{{2 \cdot {{10}^6}}}} \right) = 0,058\;кг = 58\;г\]