Условие задачи:

В закрытом сосуде находится идеальный газ. Во сколько раз изменится его давление, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличится на 20%?

Задача №4.3.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв1}} = 20\%\), \(\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} — ?\)

Решение задачи:

Объем газа в процессе не будет меняться, поэтому это случай изохорного процесса (\(V = const\)). Тогда запишем закон Шарля, которому подчиняется изохорный процесс:

\[\frac{{{p_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{p_1}}}{{{T_1}}}\]

Или, что тоже самое:

\[\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = \frac{{{T_1}}}{{{T_0}}}\]

Значит, для получения ответа осталось найти как относятся между собой конечная и начальная температуры. Для этого необходимо разобраться со среднеквадратичной скоростью молекул, которая зависит от температуры. Среднеквадратичную скорость можно вычислить по формулам (для начальной и конечной температур):

\[v_{кв0} = \sqrt {\frac{{3RT_0}}{M}} \]

\[v_{кв1} = \sqrt {\frac{{3RT_1}}{M}} \]

Хочу особо отметить, что число «3» под корнем не является числом степеней свободы, поэтому решение не зависит от того, какой газ мы рассматриваем.

Тогда:

\[\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} = \frac{{\sqrt {\frac{{3R{T_1}}}{M}}  — \sqrt {\frac{{3R{T_0}}}{M}} }}{{\sqrt {\frac{{3R{T_0}}}{M}} }}\]

\[\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} = \frac{{\sqrt {{T_1}}  — \sqrt {{T_0}} }}{{\sqrt {{T_0}} }}\]

\[\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} = \frac{{\sqrt {{T_1}} }}{{\sqrt {{T_0}} }} — 1\]

\[\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} = \sqrt {\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}}}  — 1\]

Тогда:

\[\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}} = {\left( {\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} + 1} \right)^2}\]

В итоге:

\[\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = {\left( {\frac{{\Delta v_{кв}}}{v_{кв0}} + 1} \right)^2}\]

\[\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = {\left( {0,2 + 1} \right)^2} = 1,44\]

Ответ: в 1,44 раза

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Смотрите также задачи:

4.3.7 Газ нагрели на 100 К при постоянном объеме. Давление газа
4.3.9 Во сколько раз изменяется плотность идеального газа
4.3.10 В процессе изобарного нагревания газа его объем увеличился в 2 раза