Решение: В сосуд, на дне которого лежит твердый шар, нагнетают воздух при температуре 27 C

Условие задачи:

В сосуд, на дне которого лежит твердый шар, нагнетают воздух при температуре 27° C. Когда давление в сосуде стало равно 2 МПа, шар поднялся вверх. Чему равна масса шара, если его радиус 5 см?

Задача №4.2.101 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=27^\circ\) C, \(p=2\) МПа, \(r=5\) см, \(m-?\)

Решение задачи:

Шар поднимется, когда выполнится условие плавания тел, т.е. сила Архимеда, действующая на шар, станет равной силе тяжести шара:

\[{F_А} = mg\]

Выталкивающую силу \(F_А\) определяют по формуле:

\[{F_А} = \rho Vg\]

Здесь \(\rho\) — плотность среды, в которую погружен шар, то есть плотность воздуха, \(V\) — объем твёрдого шара. Тогда:

\[\rho Vg = mg\]

\[m = \rho V\;\;\;\;(1)\]

Зная радиус шара, легко определить его объем из следующего выражения:

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(2)\]

Чтобы найти плотность воздуха, запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для воздуха в объеме сосуда \(V_1\) (пусть в этом объеме содержится воздух массой \(m_1\)):

\[p{V_1} = \frac{{{m_1}}}{M}RT\]

Разделим обе части уравнения на объем \(V_1\):

\[p = \frac{{{m_1}}}{{M{V_1}}}RT\]

Молярная масса воздуха \(M\) равна 29 г/моль или 0,029 кг/моль.

Отношение массы воздуха \(m_1\) к объему \(V_1\) есть плотность воздуха:

\[p = \frac{\rho }{M}RT\]

\[\rho = \frac{{pM}}{{RT}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), в итоге получим:

\[m = \frac{{4pM\pi {r^3}}}{{3RT}}\]

Выполним перевод величин в систему СИ:

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

\[5\;см = 0,05\;м\]