Условие задачи:

Тонкий резиновый шар радиусом 2 см наполнен воздухом при температуре 20° C и давлении 100 кПа. Каким будет радиус шара, если его опустить в воду с температурой 4° C на глубину 20 м?

Задача №4.2.89 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r_0=2\) см, \(t_0=20^\circ\) C, \(p_0=100\) кПа, \(t_1=4^\circ\) C, \(h=20\) м, \(r_1-?\)

Решение задачи:

Запишем объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона) для воздуха, находящегося в шаре:

\[\frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}}\;\;\;\;(1)\]

Поскольку резиновый шар легко деформируется, то давление воздуха внутри него всегда равно внешнему давлению.  Поэтому изначально воздух в шаре оказывал давление, равное атмосферному \(p_0\). Затем, после погружения на глубину \(h\), давление воздуха в шаре станет равным давлению воды, которое определяется законом Паскаля:

\[{p_1} = {p_0} + \rho gh\]

Здесь \(\rho\) — плотность воды, равная 1000 кг/м³.

Объем шара в общем случае можно найти через его радиус \(r\) по формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Тогда уравнение (1) примет вид:

\[\frac{{{p_0} \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3}}{{{T_0}}} = \frac{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3}}{{{T_1}}}\]

Выразим из этого равенства искомый радиус \(r_1\):

\[\frac{{{p_0}r_0^3}}{{{T_0}}} = \frac{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right)r_1^3}}{{{T_1}}}\]

\[r_1^3 = \frac{{{p_0}r_0^3{T_1}}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right){T_0}}}\]

\[{r_1} = {r_0}\sqrt[3]{{\frac{{{p_0}{T_1}}}{{\left( {{p_0} + \rho gh} \right){T_0}}}}}\]

Переведем величины в систему СИ:

\[2\;см = 0,02\;м\]

\[20^\circ\;С  = 293\;К\]

\[4^\circ\;С  = 277\;К\]

Посчитаем ответ:

\[{r_1} = 0,02 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 277}}{{\left( {100 \cdot {{10}^3} + {{10}^3} \cdot 10 \cdot 20} \right) \cdot 293}}}} = 0,014\;м\]

Ответ: 0,014 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.2.88 Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра есть поршень
4.2.90 Цилиндрический сосуд делится невесомым поршнем на две части. В одну часть сосуда
4.2.91 Два одинаковых шара соединены тонкой трубкой, в которой находится капелька ртути