Решение: Сколько надо испарить воды в 1000 м3 воздуха, относительная влажность которого 40%

Условие задачи:

Сколько надо испарить воды в 1000 м³ воздуха, относительная влажность которого 40% при 283 К, чтобы увлажнить его до 60% при 290 К. Плотность насыщенных паров при указанных температурах равна 9,4 и 14,5 г/м³, соответственно.

Задача №4.4.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=1000\) м³, \(\varphi_1=40\%\), \(T_1=283\) К, \(\varphi_2=60\%\), \(T_2=290\) К, \(\rho_{н1}=9,4\) г/м³, \(\rho_{н2}=14,5\) г/м³, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Относительную влажность воздуха \(\varphi\) определяют как отношение плотности водяного пара при данной температуре к плотности насыщенного водяного пара при той же температуре.

\[\varphi = \frac{\rho }{{{\rho _н}}}\]

Плотность водяного пара можно найти как отношение массы водяных паров \(m\) к объему \(V\), занимаемому паром. Тогда формула относительной влажности примет следующий вид:

\[\varphi = \frac{m}{{{\rho _н}V}}\]

Выразим массу водяных паров \(m\):

\[m = \varphi {\rho _н}V\]

Тогда массу водяных паров \(m_1\) и \(m_2\) при температуре \(T_1\) и \(T_2\) можно найти по таким формулам (обратите внимание, что плотность насыщенных паров при этих температурах разная):

\[\left\{ \begin{gathered}
{m_1} = {\varphi _1}{\rho _{н1}}V \hfill \\
{m_2} = {\varphi _2}{\rho _{н2}}V \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поскольку относительная влажность будет увеличиваться, при этом также растет и температура, значит \({m_2} > {m_1}\). Искомую величину \(\Delta m\) будем искать по формуле:

\[\Delta m = {m_2} — {m_1}\]

Учитывая полученные выше выражения, получим такое решение задачи в общем виде:

\[\Delta m = {\varphi _2}{\rho _{н2}}V — {\varphi _1}{\rho _{н1}}V\]

\[\Delta m = \left( {{\varphi _2}{\rho _{н2}} — {\varphi _1}{\rho _{н1}}} \right)V\]

Переведем некоторые исходные данные задачи в систему СИ:

\[40\% = 0,4\]

\[60\% = 0,6\]

\[9,4\;г/м^3 = 0,0094\;кг/м^3\]

\[14,5\;г/м^3 = 0,0145\;кг/м^3\]

Произведем вычисление ответа:

\[\Delta m = \left( {0,6 \cdot 0,0145 — 0,4 \cdot 0,0094} \right) \cdot 1000 = 4,94\;кг\]