Решение: До какой температуры при нормальном атмосферном давлении надо нагреть кислород

Условие задачи:

До какой температуры при нормальном атмосферном давлении надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности азота при нормальных условиях?

Задача №4.1.51 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rho_1=\rho_2\), \(p_2=100\) кПа, \(T_2-?\)

Решение задачи:

Для начала запишем уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[pV = \frac{m}{M}RT\]

Если поделить обе части уравнения на объем \(V\), тогда в правой части появится отношение массы \(m\) к объему \(V\), что не что иное, как плотность газа \(\rho\).

\[p = \frac{m}{{MV}}RT\]

\[p = \frac{\rho }{M}RT\]

Выразим эту плотность \(\rho\):

\[\rho = \frac{{pM}}{{RT}}\]

Тогда плотность данных двух газов можно найти соответственно по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\rho _1} = \frac{{{p_1}{M_1}}}{{R{T_1}}} \hfill \\
{\rho _2} = \frac{{{p_2}{M_2}}}{{R{T_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

По условию плотности газов равны, поэтому приравняем правые части равенств системы:

\[\frac{{{p_1}{M_1}}}{{R{T_1}}} = \frac{{{p_2}{M_2}}}{{R{T_2}}}\]

Нормальным условиям соответствует давление \(p_1\), равное нормальному атмосферному (100 кПа), и температура \(T_1\) — 0° C или 273 К. Значит давление азота \(p_1\) равно давлению кислорода \(p_2\).

\[\frac{{{M_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{M_2}}}{{{T_2}}}\]

\[{T_2} = {T_1}\frac{{{M_2}}}{{{M_1}}}\]

Молярная масса азота \(M_1\) равна 0,028 кг/моль, а кислорода \(M_2\) — 0,032 кг/моль. Произведем вычисления:

\[{T_2} = 273 \cdot \frac{{0,032}}{{0,028}} = 312\;К\]