Условие задачи:
Соленоид, содержащий 1000 витков медной проволоки сечением 0,2 мм2, находится в однородном магнитном поле с осью, параллельной линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью 0,01 Тл/с. Диаметр соленоида 5 см. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в соленоиде, концы которого замкнуты между собой.
Задача №8.4.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(N=1000\), \(S_{пр}=0,2\) мм2, \(\alpha = 0^\circ\), \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=0,01\) Тл/с, \(d=5\) см, \(W-?\)
Решение задачи:
Тепловую мощность \(W\), выделяющуюся в соленоиде при протекании по нему электрического тока, можно определить по такой формуле:
\[W = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]
Силу индукционного тока в контуре \(I\) будем искать, используя закон Ома:
\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда получим:
\[W = \frac{{{\rm E}_i^2}}{R}\;\;\;\;(3)\]
Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в соленоиде при изменении магнитного потока, пересекающего этот соленоид, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Учитывая, что соленоид содержит \(N\) витков, имеем:
\[{{\rm E}_i} = N\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]
Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.
Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):
\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]
Здесь угол \(\alpha\) — угол между осью соленоида и вектором магнитной индукции, равный по условию \(\alpha = 0^\circ\), то есть \(\cos \alpha = 1\). Тогда:
\[\Delta \Phi = \Delta BS \]
Полученное выражение подставим в (4):
\[{{\rm E}_i} = \frac{{N\Delta BS}}{{\Delta t}}\]
А это выражение подставим в (3):
\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{{N^2}{S^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]
Общее сопротивление соленоида можно найти по формуле:
\[R = \rho \frac{{N\pi d}}{{{S_{пр}}}}\;\;\;\;(6)\]
В этой формуле \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м.
Площадь одного витка соленоида \(S\) равна:
\[S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\;\;\;\;(7)\]
Выражения (6) и (7) подставим в формулу (5):
\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{{N^2}{\pi ^2}{d^4}{S_{пр}}}}{{16\rho N\pi d}}\]
\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{N\pi {d^3}{S_{пр}}}}{{16\rho }}\]
Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:
\[W = \frac{{{{0,01}^2} \cdot 1000 \cdot 3,14 \cdot {{0,05}^3} \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{16 \cdot 17 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 28,9 \cdot {10^{ — 6}}\;Вт = 28,9\;мкВт\]
Ответ: 28,9 мкВт.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
8.4.52 При равномерном изменении силы тока через катушку из 500 витков в ней возникает
8.4.54 Какой ток идет через гальванометр с сопротивлением 100 Ом, присоединенный
8.4.55 Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником
Скажите, пожалуйста, как общее сопротивление соленоида нашли?
По формуле определению сопротивления:\[R = \rho \frac{L}{S_{пр}}\]Длина одного витка соленоида равна:\[l = \pi d\]Число таких витков — \(N\), поэтому имеем:\[R = \rho \frac{{N\pi d}}{{{S_{пр}}}}\]