Решение: Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода 2H1) влетают в однородное магнитное поле

Условие задачи:

Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода \({}_1^2{\text{H}}\)) влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Как связаны между собой периоды \(T_1\) и \(T_2\) обращения по окружностям, соответственно, протона и дейтрона (массы протона и нейтрона считать равными)?

Задача №8.2.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=90^\circ\), \(\frac{T_2}{T_1}-?\)

Решение задачи:

Для начала определимся с массами и зарядами. Протон имеет массу \(m_p\) и модуль заряда \(e\). Дейтрон (ядро атома изотопа водорода) \(_1^2{\text{H}}\) состоит из одного протона и одного нейтрона. Поэтому, если считать массы нейтрона и протона считать равными, его масса равна \(2m_p\), а модуль заряда равен \(e\).

Под действием силы Лоренца заряженная частица в магнитном поле будет совершать равномерное движение по окружности. Очевидно, что если частица движется по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(\upsilon\), то период обращения \(T\), то есть время, за которое частица сделает один оборот (или пройдет одну длину окружности, равную \(2\pi R\)), можно найти так:

\[T = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\;\;\;\;(1)\]

Силу Лоренца \(F_Л\) определяют по следующей формуле:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость заряженной частицы, \(q\) — модуль заряда частицы, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает заряженной частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Приравняем правые части (2) и (5):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

Откуда отношение \(\frac{R}{\upsilon}\), которое нам будет нужно в ходе дальнейшего решения, равно:

\[\frac{R}{\upsilon } = \frac{m}{{Bq\sin \alpha }}\]

Полученное выражение подставим в (1):

\[T = \frac{{2\pi m}}{{Bq\sin \alpha }}\]

Запишем полученную формулу дважды для определения периодов обращения протона и дейтрона:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_1} = \frac{{2\pi {m_p}}}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
{T_2} = \frac{{2\pi \cdot 2{m_p}}}{{Be\sin \alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда искомое отношение \(\frac{T_2}{T_1}\) равно:

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 2\]