Решение: При изменении силы тока в катушке от 5 до 10 А за 0,1 с возникает ЭДС

Условие задачи:

При изменении силы тока в катушке от 5 до 10 А за 0,1 с возникает ЭДС самоиндукции 10 В. На сколько при этом изменяется энергия магнитного поля катушки?

Задача №8.5.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I_1=5\) А, \(I_2=10\) А, \(\Delta t=0,1\) с, \(\rm E_{si}=10\) В, \(\Delta W-?\)

Решение задачи:

Энергию магнитного поля \(W\) можно определить по такой формуле:

\[W = \frac{{L{I^2}}}{2}\]

Если сила тока в катушке изменяется от \(I_1\) до \(I_2\), то энергия магнитного поля изменяется на величину:

\[\Delta W = \frac{{LI_2^2}}{2} — \frac{{LI_1^2}}{2}\]

\[\Delta W = \frac{{L\left( {I_2^2 — I_1^2} \right)}}{2}\]

Распишем в числителе разность квадратов, это пригодится далее при решении:

\[\Delta W = \frac{{L\left( {{I_2} — {I_1}} \right)\left( {{I_2} + {I_1}} \right)}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Модуль возникающей ЭДС самоиндукции можно найти по следующей формуле (только при равномерном изменении тока):

\[{{\rm E}_{si}} = L\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(\Delta I\) — абсолютное значение изменения тока, \(\Delta t\) — интервал времени, за который это изменение произошло.

Абсолютное значение изменения тока \(\Delta I\) можно найти по формуле:

\[\Delta I = {I_2} — {I_1}\]

Тогда имеем:

\[{{\rm E}_{si}} = L\frac{{{I_2} — {I_1}}}{{\Delta t}}\]

Выразим из этой формулы искомую индуктивность катушки \(L\):

\[L = \frac{{{{\rm E}_{si}} \cdot \Delta t}}{{{I_2} — {I_1}}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (1):

\[\Delta W = \frac{{{{\text{E}}_{si}} \cdot \Delta t \cdot \left( {{I_2} — {I_1}} \right)\left( {{I_2} + {I_1}} \right)}}{{2\left( {{I_2} — {I_1}} \right)}}\]

\[\Delta W = \frac{{{{\text{E}}_{si}}\Delta t\left( {{I_2} + {I_1}} \right)}}{2}\]

Задача решена. Подставим численные данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\Delta W = \frac{{10 \cdot 0,1 \cdot \left( {10 + 5} \right)}}{2} = 7,5\;Дж\]