Решение: Квадратная рамка площадью 100 см2 вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл

Условие задачи:

Квадратная рамка площадью 100 см² вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон, со скоростью 300 об/мин. Найти максимальное значение ЭДС, возникшей при этом в рамке.

Задача №8.4.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=100\) см², \(B=0,2\) Тл, \(\nu=300\) об/мин, \(\rm E_{imax}-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что рамка вращается в поле с некоторой угловой скоростью \(\omega\), то формула (1) примет следующий вид:

\[\Phi = BS\cos \omega t\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

\[{\rm E_i} = — \Phi ^\prime \left( t \right)\]

Тогда:

\[{{\rm E}_i} = — {\left( {BS\cos \omega t} \right)^\prime }\]

\[{{\rm E}_i} = BS\omega \sin \omega t\]

Очевидно, что ЭДС индукции достигнет своего максимального значения, когда синус будет равен единице, поэтому:

\[{{\rm E}_{imax }} = BS\omega \]

Угловая скорость вращения \(\omega\) связана с частотой вращения \(\nu\) по такой формуле:

\[\omega = 2\pi \nu \]

В итоге, окончательно получим такую формулу:

\[{{\rm E}_{imax }} = 2\pi \nu BS\]

Посчитаем численный ответ (не забывая переводить величины в систему СИ, например, 300 об/мин = 5 Гц):

\[{{\rm E}_{imax }} = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 \cdot 0,2 \cdot 100 \cdot {10^{ — 4}} = 0,0628\;В = 62,8\;мВ\]