Решение: Две параллельные вертикальные медные шины, находящиеся в 1 м друг от друга

Условие задачи:

Две параллельные вертикальные медные шины, находящиеся в 1 м друг от друга, замкнуты наверху на сопротивление 1 Ом и помещены в однородное магнитное поле 0,1 Тл, перпендикулярное плоскости шин. Вдоль шин падает проводник массой 0,1 кг. Определите установившуюся скорость его падения.

Задача №8.4.56 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=1\) м, \(R=1\) Ом, \(B=0,1\) Тл, \(m=0,1\) кг, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Для решения этой задачи условно примем магнитное поле, направленное к нам (смотрите рисунок к решению задачи).

Итак, вполне понятно, что проводник в начале будет скользить вниз под действием силы тяжести. Поскольку скользящий проводник находится в горизонтальном магнитном поле, значит в нем будет возникать ЭДС индукции \(\rm E_i\), равная:

\[{{\rm E}_i} = B\upsilon l\]

Из-за возникающей ЭДС индукции \(\rm E_i\) в цепи, состоящей из шин, сопротивления и проводника, будет течь ток, который можно определить, используя закон Ома. Направление тока — по часовой стрелке (смотрите рисунок к решению) — чтобы это доказать, нужно выделить в проводнике положительный заряд и узнать направление действующей на него силы Лоренца. Направление тока совпадает с направлением силы Лоренца, действующей на положительный заряд.

\[I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}\]

То есть имеем:

\[I = \frac{{B\upsilon l}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Из-за того, что в проводнике потечет ток, на него станет действовать сила Ампера \(F_А\), причем она будет направлена вертикально вверх согласно правилу левой руки. Её значение можно найти по формуле:

\[{F_А} = IBl\]

Учитывая (1), имеем:

\[{F_А} = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Интересно, что начальное ускоренное движение проводника под действием силы тяжести \(mg\) быстро сменится на равномерное из-за дополнительного действия силы Ампера \(F_А\), поскольку чем быстрее движется проводник(т.е. чем больше ЭДС индукции), тем выше индукционный ток в цепи, и тем выше сила Ампера \(F_А\), тормозящая движение проводника. Для равномерного движения проводника применим первый закон Ньютона:

\[{F_А} = mg\]

Принимая во внимание (2), получим:

\[\frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R} = mg\]

Откуда скорость проводника \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = \frac{{mgR}}{{{B^2}{l^2}}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[\upsilon = \frac{{0,1 \cdot 10 \cdot 1}}{{{{0,1}^2} \cdot {1^2}}} = 100\;м/с\]