Решение: Радиоактивный натрий 11Na24 распадается, выбрасывая бета-частицу. Период полураспада

Условие задачи:

Радиоактивный натрий \(_{11}^{24}Na\) распадается, выбрасывая β-частицу. Период полураспада натрия 15 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся из 1 мг данного радиоактивного препарата за 30 ч.

Задача №11.8.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(_{11}^{24}Na\), \(T=15\) ч, \(m_0=1\) мг, \(t=30\) ч, \(\Delta N-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Чтобы определить количество атомов изотопа натрия \(N_0\) в массе препарата \(m_0\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N_0}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m_0}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, \(M\) — молярная масса изотопа натрия, равная 0,024 кг/моль (смотрите запись изотопа этого химического элемента). Тогда:

\[\frac{N_0}{{{N_А}}} = \frac{m_0}{M}\]

\[{N_0} = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3), тогда:

\[\Delta N = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (период полураспада и время мы не переводим в СИ):

\[\Delta N = \frac{{{{10}^{ — 6}} \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}}}}{{0,024}}\left( {1 — {2^{ — \frac{{30}}{{15}}}}} \right) = 1,9 \cdot {10^{19}}\]