Решение: Препарат 84Po210 массой 1 мг помещен в калориметр с теплоемкостью 8 Дж/К. После

Условие задачи:

Препарат \(_{84}^{210}Po\) массой 1 мг помещен в калориметр с теплоемкостью 8 Дж/К. После α-распада он превращается в свинец \(_{82}^{206}Pb\). На сколько поднимется температура в калориметре за 1 ч? Масса атома \(_{84}^{210}Po\) 209,98287 а.е.м., масса атома \(_{82}^{206}Pb\) 205,97447 а.е.м. Период полураспада полония 138 суток. Масса покоя α-частицы 4,00260 а.е.м.

Задача №11.8.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(_{84}^{210}Po\), \(m_0=1\) мг, \(C=8\) Дж/К, \(_{82}^{206}Pb\), \(\tau=1\) ч, \(m_{Po}=209,98287\) а.е.м., \(m_{Pb}=205,97447\) а.е.м., \(t=138\) сут, \(m_{He}=4,00260\) а.е.м., \(\Delta T-?\)

Решение задачи:

Для наглядности запишем происходящую реакцию:

\[{}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + {}_2^4He\]

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(\tau\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(t\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Чтобы определить количество атомов изотопа полония \(N_0\) в массе препарата \(m_0\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N_0}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m_0}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, \(M\) — молярная масса изотопа полония, равная 0,210 кг/моль (смотрите запись изотопа этого химического элемента). Тогда:

\[\frac{N_0}{{{N_А}}} = \frac{m_0}{M}\]

\[{N_0} = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3), тогда:

\[\Delta N = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(5)\]

Так как энергия эквивалентна массе, значит при распаде одного ядра полония выделяется энергия \(E_0\). Запишем формулу Эйнштейна для связи между энергией и массой:

\[E_0 = \Delta m{c^2}\]

Здесь \(\Delta m\) — изменение массы в процессе α-распада (дефект масс), \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Очевидно, что:

\[{E_0} = \left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}\]

Значит при распаде \(\Delta N\) ядер выделится энергия \(E\), которую можно найти по формуле:

\[E = {E_0}\Delta N\]

Тогда:

\[E = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\;\;\;\;(6)\]

Если температура калориметра с теплоемкостью \(C\) повысилась на \(\Delta T\), то ему было сообщено количество теплоты \(Q\), равное:

\[Q = C\Delta T\;\;\;\;(7)\]

Вся выделившаяся при α-распаде ядер полония энергия \(E\) идет на нагревание калориметра, поэтому:

\[E = Q\]

Приравняв (6) и (7), получим:

\[C\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\]

Окончательно получим следующую формулу для нахождения изменения температуры \(\Delta T\):

\[\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{{CM}}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (1 а.е.м. = 1,66·10^-27 кг):

\[\Delta T = \frac{{{{10}^{ — 6}} \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot \left( {209,98287 — 205,97447 — 4,00260} \right) \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ — 27}} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 0,210}}\left( {1 — {2^{ — \frac{1}{{138 \cdot 24}}}}} \right) = 65\;К = 65^\circ\;С \]