Решение: Определите максимальный ток в контуре, если длина электромагнитной волны

Условие задачи:

Определите максимальный ток в контуре, если длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур — 75,36 м, а максимальный заряд конденсатора равен 10 нКл.

Задача №9.13.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=75,36\) м, \(q_m=10\) нКл, \(I_m-?\)

Решение задачи:

Известно, что максимальная энергия магнитного поля тока катушки колебательного контура равна максимальной энергии электрического поля конденсатора этого же контура, поэтому из закона сохранения энергии следует, что:

\[\frac{{LI_m^2}}{2} = \frac{{q_m^2}}{{2C}}\]

Откуда максимальный ток в контуре \(I_m\) равен:

\[{I_m} = \frac{{{q_m}}}{{\sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

Частоту электромагнитных волн, излучаемых колебательным контуром, можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), их частотой колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

В эту формулу поставим выражение (2):

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {LC} \]

Отсюда следует, что:

\[\sqrt {LC} = \frac{\lambda }{{2\pi c}}\]

Учитывая последнее полученное равенство, формула (1) примет вид:

\[{I_m} = \frac{{2\pi c{q_m}}}{\lambda }\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[{I_m} = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot {{10}^8} \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 9}}}}{{75,36}} = 0,25\;А\]