Условие задачи:
Материальная точка совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,5 с, максимальное ускорение 15,8 м/с2. Определить амплитуду колебаний.
Задача №9.1.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(T=0,5\) с, \(a_{\max}=15,8\) м/с2, \(A-?\)
Решение задачи:
Если материальная точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:
\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]
В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.
Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:
\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]
Теперь берем вторую производную:
\[x^{\prime\prime} = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]
То есть мы имеем:
\[a = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]
Понятно, что максимальное по модулю значение ускорения в таком случае следует искать по формуле:
\[{a_{\max }} = A{\omega ^2}\;\;\;\;(1)\]
Циклическая частота колебаний \(\omega\) и период колебаний \(T\) связаны по известной формуле:
\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]
Тогда, учитывая это, формула (1) примет вид:
\[{a_{\max }} = \frac{{4{\pi ^2}A}}{{{T^2}}}\]
Откуда искомая амплитуда колебаний \(A\) равна:
\[A = \frac{{{a_{\max }}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}\]
Численный ответ задачи равен:
\[A = \frac{{15,8 \cdot {{0,5}^2}}}{{4 \cdot {{3,14}^2}}} = 0,1\;м\]
Ответ: 0,1 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
9.1.1 Уравнение гармонических колебаний имеет вид x=4*sin(2*pi*t) (м). Определить
9.1.3 За какое время от начала движения точка, колеблющаяся по закону x=7*sin(0,5*pi*t) (м)
9.1.4 Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки
не понимаю почему максимальное ускорение надо искать по такой формуле(без синуса)
Максимальное ускорение (по модулю) имеет место, когда этот синус будет равен 1 (также по модулю). Поэтому если откинете синус, то получите максимальное значение ускорения. Сейчас понятно?