Решение: Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов

Условие задачи:

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период собственных колебаний контура 0,02 с. Чему будет равен период, если конденсаторы включить последовательно?

Задача №9.7.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T_1=0,02\) с, \(T_2-?\)

Решение задачи:

Пусть электроемкость одного конденсатора равна \(C_0\). В случае параллельного подключения двух таких конденсаторов их общая емкость будет равна \(C_1\), а при последовательном подключении — \(C_2\), причем \(C_1\) и \(C_2\) можно определить по формулам:

\[{C_1} = {C_0} + {C_0} = 2{C_0}\]

\[\frac{1}{{{C_2}}} = \frac{1}{{{C_0}}} + \frac{1}{{{C_0}}} = \frac{2}{{{C_0}}} \Rightarrow {C_2} = \frac{{{C_0}}}{2}\]

Период свободных колебаний в колебательном контуре можно определить по формуле Томсона:

\[T = 2\pi \sqrt {LC} \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Запишем формулу (1) для определения периодов колебаний \(T_1\) (параллельное подключение конденсаторов) и \(T_2\) (последовательное подключение конденсаторов).

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_1} = 2\pi \sqrt {L{C_1}} \hfill \\
{T_2} = 2\pi \sqrt {L{C_2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая вышеприведенные формулы для нахождения \(C_1\) и \(C_2\), имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{T_1} = 2\pi \sqrt {2L{C_0}} \hfill \\
{T_2} = 2\pi \sqrt {L\frac{{{C_0}}}{2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Найдем отношение \(\frac{T_2}{T_1}\):

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{1}{4}} \]

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\]

\[{T_2} = \frac{1}{2}{T_1}\]

Численный ответ равен:

\[{T_2} = \frac{1}{2} \cdot 0,02 = 0,01\;с = 10\;мс\]