Решение: Индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа ее витков. Как следует

Условие задачи:

Индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа ее витков. Как следует изменить число витков катушки электрического колебательного контура, чтобы в два раза увеличить длину волны, на которую настроен контур?

Задача №9.13.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=kN^2\), \(\lambda=2\lambda_0\), \(\frac{N}{N_0}-?\)

Решение задачи:

Частоту электромагнитных волн, которые принимает радиоприемник, можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

В эту формулу подставим выражение (1):

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {LC} \]

В условии задачи сказано, что индуктивность катушки \(L\) пропорциональна квадрату числа ее витков, то есть \(L=kN^2\), поэтому предыдущую формулу запишем в таком виде:

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {k{N^2}C} \]

\[\lambda = 2\pi cN\sqrt {kC} \]

Запишем полученную формулу для определения длин волн \(\lambda_0\) и \(\lambda\), принимаемых радиоприемником (при числе витков катушки соответственно \(N_0\) и \(N\)):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\lambda _0} = 2\pi c{N_0}\sqrt {kC} \hfill \\
\lambda = 2\pi cN\sqrt {kC} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее:

\[\frac{\lambda }{{{\lambda _0}}} = \frac{N}{{{N_0}}}\]

По условию задачи длина волны, на которую настроен радиоприемник, должна увеличится в 2 раза, то есть \(\lambda=2\lambda_0\), поэтому:

\[\frac{N}{{{N_0}}} = \frac{{2{\lambda _0}}}{{{\lambda _0}}} = 2\]