Решение: Амплитуда колебаний математического маятника 10 см. Наибольшая скорость 0,5 м/с

Условие задачи:

Амплитуда колебаний математического маятника 10 см. Наибольшая скорость 0,5 м/с. Определите длину маятника.

Задача №9.2.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

\(A=10\) см, \(\upsilon_{\max}=0,5\) м/с, \(l-?\)

Пусть колебания математического маятника происходят по закону синуса, тогда уравнения этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение скорости маятника при этих колебаниях, нужно взять производную от уравнения колебаний:

\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

То есть имеем:

\[\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Очевидно, что максимальную скорость в таком случае можно найти так (она имеет место, когда синус равен -1 или 1):

\[{\upsilon _{\max }} = A\omega \;\;\;\;(1)\]

Циклическую частоту колебаний математического маятника \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(g\) — ускорение свободного падения (можно принимать \(g=10\) м/с²), \(l\) — длина нити математического маятника.

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[{\upsilon _{\max }} = A\sqrt {\frac{g}{l}} \]

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

\[\upsilon _{\max }^2 = \frac{{{A^2}g}}{l}\]

Откуда длина маятника \(l\) равна:

\[l = \frac{{{A^2}g}}{{\upsilon _{\max }^2}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[l = \frac{{{{0,1}^2} \cdot 10}}{{{{0,5}^2}}} = 0,4\;м = 40\;см\]

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.