Условие задачи:

Игрок посылает мяч с высоты \(h=1,2\) м над землей так, что угол бросания 45°. На расстоянии \(S=47\) м от места бросания расположена сетка высотой \(H=7,3\) м. Какова должна быть минимальная скорость, чтобы мяч перескочил сетку?

Задача №1.6.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=1,2\) м, \(\alpha=45^\circ\), \(S=47\) м, \(H=7,3\) м, \(v_0-?\)

Решение задачи:

Представленная задача имеет высокий уровень сложности, и несмотря на простое условие, решается нетривиально. Здесь необходимы методы решения задач по кинематике, которые отличаются от тех, которые мы применяли ранее. Ранее мы всегда полагались на аналитические методы, т.е. всегда решали различные уравнения в проекциях. В этой задаче мы будем использовать векторный метод решения задач на кинематику. Рисунок к задаче приведен, как всегда, справа.

Большинство людей думают, что мяч перескочит сетку при минимальной скорости при броске, если в точке над сеткой у мяча будет наивысшая точка подъема, т.е. отсутствовать вертикальная составляющая скорости. Ни черта подобного! Но давайте сначала найдем зависимость между скоростью бросания и скоростью над сеткой, использую закон сохранения энергии (ЗСЭ), нуль потенциальной энергии выбран на уровне земли (смотрите часть рисунка под номером (1)):

\[\frac{{mv_0^2}}{2} + mgh = \frac{{m{v^2}}}{2} + mgH\]

Сократив обе части уравнения на \(m\), получим:

\[{v^2} = v_0^2 — 2g(H — h)\]

\[v = \sqrt {v_0^2 — 2g(H — h)} \]

Теперь взглянем на наш рисунок, точнее на его вторую часть. Угол \(\varphi\) — это угол между векторами скоростей \(v_0\) и \(v\). Здесь изображен треугольник скоростей, который олицетворяет векторное уравнение:

\[\overrightarrow v  = \overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow g t\]

Заметим, что его площадь можно найти двумя способами — через половину произведение сторон и синус угла между ними и через половину произведения основания на высоту:

\[{S_\Delta } = \frac{1}{2}v{v_0}\sin \varphi  = \frac{1}{2}gt{v_{0x}}\]

Учитывая, что \(S = {v_{0x}}t\), имеем:

\[v{v_0}\sin \varphi  = Sg\]

\[v{v_0} = \frac{{Sg}}{{\sin \varphi }}\]

Подставим полученную ранее нами формулу для определения \(v\) через \(v_0\).

\[{v_0}\sqrt {v_0^2 — 2g(H — h)}  = \frac{{Sg}}{{\sin \varphi }}\]

Теперь поразмыслим над этой формулой.

Очень важно понять следующее. Если мы ищем минимальную начальную скорость, то левая часть приведенного выше уравнения должна принимать минимальное значение (т.к. вы остальные величины постоянные и заданы условием). Тогда и правая часть уравнения должна быть минимальной, а это возможно лишь при максимальном значении синуса угла, т.е. при \(\sin \varphi  = 1\) или \(\varphi  = 90^\circ \).

Значит:

\[{v_0}\sqrt {v_0^2 — 2g(H — h)}  = Sg\]

Дальнейшее решение этой непростой задачи сводится к решению этого уравнения. Возведем обе его части в квадрат:

\[v_0^2\left( {v_0^2 — 2g(H — h)} \right) = S^2g^2\]

Произведем замену \(u = v_0^2\), тогда:

\[u\left( {u — 2g(H — h)} \right) = S^2g^2\]

\[{u^2} — 2g(H — h)u — S^2g^2 = 0\]

\[D = 4{g^2}{(H — h)^2} + 4S^2g^2\]

\[u = \frac{{2g(H — h) \pm \sqrt {4{g^2}{{(H — h)}^2} + 4S^2g^2} }}{2}\]

\[u = g(H — h) \pm \sqrt {{g^2}{{(H — h)}^2} + S^2g^2} \]

Видно, что корень со знаком «минус» получается отрицательным, отбрасываем его:

\[u = g(H — h) + \sqrt {{g^2}{{(H — h)}^2} + S^2g^2} \]

Производя обратную замену, получаем:

\[{v_0} = \sqrt {g(H — h) + \sqrt {{g^2}{{(H — h)}^2} + S^2g^2} } \]

Подставим все исходные данные в системе измерения СИ и получим численный ответ:

\[{v_0} = \sqrt {10(7,3 — 1,2) + \sqrt {{{10}^2}{{(7,3 — 1,2)}^2} + 47^2 \cdot 10^2} }  = 23,13\; м/с = 83,26\; км/ч\]

Ответ: 83,26 км/ч.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Смотрите также задачи:

1.6.13 Бомбардировщик пикирует на цель под углом 60 градусов к горизонту
1.6.15 Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю
1.6.16 Из орудия сделан выстрел вверх по склону горы. Угол наклона горы