Условие задачи:

На тонком закрепленном кольце радиуса \(R\) равномерно распределен заряд \(q\). Какова наименьшая величина скорости, которую нужно сообщить находящейся в центре кольца частице массой \(m\) с зарядом \(q\), равным заряду кольца, чтобы она могла удалиться от кольца в бесконечность?

Задача №6.3.64 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(q\), \(m\), \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Легко догадаться, что в условии задачи закралась ошибка, ведь если заряд кольца и заряд частицы одноимённы, то любое малое смещение частицы относительно центра кольца спровоцирует её равноускоренное движение, в результате которого частица переместится в бесконечность. Поэтому задачу будем решать исходя из того, что заряды кольца и частицы равны лишь по модулю, но разные по знаку.

В таком случае решение задачи заключается в применении закона сохранения энергии. Полная энергия системы (неважно, в начале или в конце) складывается из потенциальной энергии взаимодействия заряда кольца с зарядом частицы и кинетической энергии частицы. Поэтому будет верно записать следующее равенство:

\[{W_{к1}} + {W_{п1}} = {W_{к2}} + {W_{п2}}\;\;\;\;(1)\]

Очевидно, что потенциальная энергия взаимодействия заряда кольца с зарядом частицы \(W_{п2}\) на бесконечности равна нулю. Также, если учесть, что нам требуется найти минимальную (а не какую-то другую) скорость частицы, чтобы она могла удалиться от кольца в бесконечность, то и кинетическая энергия частицы \(W_{к2}\) на бесконечности также будет равна нулю. Равенство (1) сведётся к виду:

\[{W_{к1}} + {W_{п1}} = 0\;\;\;\;(2)\]

Начальную кинетическую энергию частицы очень просто найти по известной формуле:

\[{W_{к1}} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Чтобы найти потенциальную энергию взаимодействия заряда кольца с зарядом частицы \(W_{п1}\), выполним следующие действия. Разобьём кольцо на \(N\) одинаковых частей, причём \(N\) — достаточно большое число. Тогда каждая часть будет содержать некоторый точечный заряд \(q_0\), причем, очевидно, что сумма всех этих точечных зарядов равна \(— q\), то есть справедливо следующее:

\[ — q = \sum\limits_{i = 1}^N {{q_0}}\;\;\;\;(4)\]

Потенциальную энергию взаимодействия \(W_0\) каждого такого точечного заряда \(q_0\) с зарядом частицы \(q\) можно найти по формуле:

\[{W_0} = \frac{{kq{q_0}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Энергия — величина скалярная, поэтому потенциальную энергию \(W_{п1}\) взаимодействия всего заряда кольца с зарядом частицы в центре кольца будем искать по формуле:

\[{W_{п1}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{W_0}} \]

Принимая во внимание формулу (5), имеем:

\[{W_{п1}} = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{kq{q_0}}}{R}} \]

\[{W_{п1}} = \frac{{kq}}{R}\sum\limits_{i = 1}^N {{q_0}} \]

Учитывая (4), получим:

\[{W_{п1}} = \frac{{ — k{q^2}}}{R}\]

Чтобы получить ответ, схожий с тем, что приведён в задачнике, коэффициент пропорциональности \(k\) выразим через электрическую постоянную \(\varepsilon _0\) (\(k = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\)), тогда:

\[{W_{п1}} = \frac{{ — {q^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\;\;\;\;(6)\]

Подставим (3) и (6) в (2):

\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — \frac{{{q^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}} = 0\]

Окончательно мы получим такое решение этой интересной задачи:

\[\upsilon = q\sqrt {\frac{1}{{2\pi {\varepsilon _0}mR}}} \]

Ответ: \(\upsilon = q\sqrt {\frac{1}{{2\pi {\varepsilon _0}mR}}}\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.63 В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно
6.4.1 Указать размерность единицы электроемкости
6.4.2 Проводник электроемкостью 10 пФ имеет заряд 600 нКл, а проводник электроемкостью