Решение: На расстоянии 90 см от поверхности шара радиусом 10 см, несущего положительный

Условие задачи:

На расстоянии 90 см от поверхности шара радиусом 10 см, несущего положительный заряд с поверхностной плотностью 30 мкКл/м², находится положительный точечный заряд 7 мкКл. Какую работу надо совершить, чтобы приблизить заряд на 50 см к центру шара?

Задача №6.3.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=90\) см, \(R=10\) см, \( \sigma=30\) мкКл/м², \(q=7\) мкКл, \(r=50\) см, \(A-?\)

Решение задачи:

В начале расстояние от центра шара до точечного заряда было равно \(\left( {R + L} \right)\), далее заряд приближают к центру шара на расстояние \(r\), т.е. расстояние от центра шара до точечного заряда станет равным \(\left( {R + L — r} \right)\).

Поскольку шар и точечный заряд имеют одноимённые знаки, то для их сближения необходимо будет совершить положительную работу, величину которой можно найти как изменение потенциальной энергии системы «шар — точечный заряд»:

\[A = {W_2} — {W_1}\]

Распишем потенциальные энергии \(W_1\) и \(W_2\):

\[A = \frac{{kQq}}{{R + L — r}} — \frac{{kQq}}{{R + L}}\]

Приведём под общий знаменатель в правой части:

\[A = \frac{{kQq\left( {R + L — R — L + r} \right)}}{{\left( {R + L — r} \right)\left( {R + L} \right)}}\]

\[A = \frac{{kQqr}}{{\left( {R + L — r} \right)\left( {R + L} \right)}}\]

Чтобы найти заряд шара \(Q\), необходимо воспользоваться такой формулой:

\[Q = \sigma S\]

При этом площадь боковой поверхности шара \(S\) равна:

\[S = 4\pi {R^2}\]

\[Q = 4\pi {R^2}\sigma \]

В итоге имеем такую формулу:

\[A = \frac{{4\pi {R^2} \sigma kqr}}{{\left( {R + L — r} \right)\left( {R + L} \right)}}\]

Численно работа \(A\) равна:

\[A = \frac{{4 \cdot 3,14 \cdot {{0,1}^2} \cdot 30 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot 7 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 0,5}}{{\left( {0,1 + 0,9 — 0,5} \right)\left( {0,1 + 0,9} \right)}} = 0,237\;Дж\]