Условие задачи:

На нити подвешен заряженный шар массой 300 г. Когда к нему поднесли снизу на расстояние 40 см заряженный таким же зарядом шар радиусом 2 см, то сила натяжения нити уменьшилась в 4 раза. Определить поверхностную плотность электрического заряда на поднесённом шаре.

Задача №6.1.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=300\) г, \(R=40\) см, \(r=2\) см, \(T=\frac{T_0}{4}\), \(\sigma-?\)

Решение задачи:

Изначально шар, висящий на нити, находился в равновесии под действием двух сил: силы тяжести \(mg\) и силы натяжения нити \(T\). Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) (смотрите левую часть схемы):

\[mg — {T_0} = 0\;\;\;\;(1)\]

После того, как снизу поднесут шарик радиусом \(r\) на расстояние \(R\) с таким же зарядом \(q\), сила натяжения уменьшится, поскольку появится ещё кулоновская сила отталкивания \(F_{эл}\). Также запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\) (смотрите правую часть схемы):

\[mg — T — {F_{эл}} = 0\]

По условию задачи сила натяжения нити уменьшилась в 4 раза (\(T=\frac{T_0}{4}\)), поэтому:

\[mg — \frac{{{T_0}}}{4} — {F_{эл}} = 0\]

Умножим обе части уравнения на 4, тогда:

\[4mg — {T_0} — 4{F_{эл}} = 0\;\;\;\;(2)\]

Из (2) вычтем (1), тогда получим:

\[3mg = 4{F_{эл}}\;\;\;\;(3)\]

Так как заряды обоих шаров одинаковы и равны \(q\) (как на поднесённом шаре), расстояние между центрами шаров равно \(R\), то силу кулоновского отталкивания найдём по такой формуле:

\[{F_{эл}} = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(4)\]

Коэффициент пропорциональности \(k\) равен 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Поскольку заряд \(q\) равномерно распределен на поднесённом шаре, то справедливо:

\[q = \sigma S\;\;\;\;(5)\]

Площадь поверхности шара \(S\) можно определить по такой формуле из математики:

\[S = 4\pi {r^2}\;\;\;\;(6)\]

Тогда формула (4) с учётом (5) и (6) примет такой вид:

\[{F_{эл}} = \frac{{16k{\sigma ^2}{\pi ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\]

Полученное выражение подставим в равенство (3), тогда:

\[3mg = \frac{{64k{\sigma ^2}{\pi ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\]

В итоге искомую поверхностную плотность электрического заряда на поднесённом шаре \(\sigma\) можно найти по формуле:

\[\sigma = \frac{R}{{8\pi {r^2}}}\sqrt {\frac{{3mg}}{k}} \]

Посчитаем численный ответ:

\[\sigma = \frac{{0,4}}{{8 \cdot 3,14 \cdot {{0,02}^2}}}\sqrt {\frac{{3 \cdot 0,3 \cdot 10}}{{9 \cdot {{10}^9}}}} = 0,00126\;Кл/м^2 = 1,26\;мКл/м^2\]

Ответ: 1,26 мКл/м².

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.19 Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 0,24 м друг от друга
6.1.21 На нити подвешен маленький шарик массой 10 г, которому сообщили заряд 1 мкКл
6.1.22 Три одинаковых точечных заряда по -1,7 нКл каждый находятся в вершинах