Решение: Электрон с начальной скоростью 2000 км/с, двигаясь в поле плоского конденсатора

Условие задачи:

Электрон с начальной скоростью 2000 км/с, двигаясь в поле плоского конденсатора вдоль линий напряженности, полностью теряет скорость на пути 3 см. Какова разность потенциалов между обкладками, если расстояние между ними 5 см?

Задача №6.3.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_0=2000$ км/с, $\upsilon=0$ м/с, $S=3$ см, $d=5$ см, $\Delta \varphi — ?$

Решение задачи:

Пусть обкладки конденсатора заряжены так, как показано на схеме. Тогда чтобы электрон постепенно замедлялся при движении в конденсаторе, напряженность поля внутри конденсатора должна быть направлена слева направо, поскольку в этом случае действующая на него сила (и ускорение) будут направлены справа налево, т.е против скорости электрона.

Поле конденсатора совершит отрицательную работу, величину которой можно найти по формуле:

$A = — FS$

Электрическую силу $F$ (точнее, её модуль) легко найти из напряженности поля конденсатора $E$ и модуля заряда электрона $e$ (он равен 1,6·10^-19 Кл) следующим образом:

$F = Ee$

Тогда:

$A = — EeS \;\;\;\;(1)$

Также работу поля можно определить как изменение кинетической энергии электрона:

$A = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} — \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}$

Поскольку в условии сказано, что электрон в конце полностью потеряет скорость, т.е. $\upsilon=0$ , имеем:

$A = — \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}\;\;\;\;(2)$

Теперь приравняем (1) и (2) и из полученного равенства выразим напряженность поля:

$— EeS = — \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}$

$E = \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{{2eS}}\;\;\;\;(3)$

Разность потенциалов между обкладками конденсатора $\Delta \varphi$ и напряженность поля конденсатора связаны друг с другом соотношением:

$E = \frac{{\Delta \varphi }}{d}$

Значит:

$\Delta \varphi = Ed$

Учитывая (3), получим окончательную формулу для нахождения ответа этой задачи:

$\Delta \varphi = \frac{{{m_e}\upsilon _0^2d}}{{2eS}}$

Считаем ответ:

$\Delta \varphi = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot {{\left( {2000 \cdot {{10}^3}} \right)}^2} \cdot 0,05}}{{2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 0,03}} = 18,96\;В \approx 19\;В$