Решение: Два металлических шара, радиусы которых 5 и 15 см, расположенные далеко друг

Условие задачи:

Два металлических шара, радиусы которых 5 и 15 см, расположенные далеко друг от друга, заряжены противоположными по знаку зарядами 12 нКл и -40 нКл. Шары соединяют тонкой проволокой. Какой заряд пройдёт по проволоке?

Задача №6.3.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r_1=5\) см, \(r_2=15\) см, \(q_1=12\) нКл, \(q_2=-40\) нКл, \(\Delta q-?\)

Решение задачи:

Вполне очевидно, что на сколько изменится заряд любого из шаров, такой же заряд пройдёт по проволоке. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем на сколько изменится заряд любого из шаров, например, первого. Пусть заряд первого шара после соединения шаров проволокой стал равен \(Q_1\), а второго — \(Q_2\). Тогда:

\[\Delta q = {Q_1} — {q_1}\;\;\;\;(1)\]

Потенциал каждого из шаров после соединения их проволокой можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _1} = \frac{{k{Q_1}}}{{{r_1}}} \hfill \\
{\varphi _2} = \frac{{k{Q_2}}}{{{r_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Очевидно, что потенциалы \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) равны друг другу, поэтому:

\[\frac{{k{Q_1}}}{{{r_1}}} = \frac{{k{Q_2}}}{{{r_2}}}\]

\[\frac{{{Q_1}}}{{{r_1}}} = \frac{{{Q_2}}}{{{r_2}}}\]

\[{Q_2} = {Q_1}\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}\;\;\;\;(2)\]

Также запишем закон сохранения заряда:

\[{q_1} + {q_2} = {Q_1} + {Q_2}\]

Учитывая (2), имеем:

\[{q_1} + {q_2} = {Q_1} + {Q_1}\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}\]

\[{q_1} + {q_2} = {Q_1}\frac{{{r_1} + {r_2}}}{{{r_1}}}\]

\[{Q_1} = \frac{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right){r_1}}}{{{r_1} + {r_2}}}\]

Полученную формулу подставим в (1):

\[\Delta q = \frac{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right){r_1}}}{{{r_1} + {r_2}}} — {q_1}\]

Приведём под общий знаменатель:

\[\Delta q = \frac{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right){r_1} — {q_1}\left( {{r_1} + {r_2}} \right)}}{{{r_1} + {r_2}}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\Delta q = \frac{{{q_1}{r_1} + {q_2}{r_1} — {q_1}{r_1} — {q_1}{r_2}}}{{{r_1} + {r_2}}}\]

\[\Delta q = \frac{{{q_2}{r_1} — {q_1}{r_2}}}{{{r_1} + {r_2}}}\]

Мы решили задачу в общем виде. Посчитаем численный ответ:

\[\Delta q = \frac{{\left( { — 40 \cdot {{10}^{ — 9}}} \right) \cdot 0,05 — 12 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 0,15}}{{0,05 + 0,15}} = — 19 \cdot {10^{ — 9}}\;Кл = — 19\;нКл\]

Знак «минус» лишь показывает, что заряд первого шара уменьшился, то есть \({Q_1} < {q_1}\).