Решение: Два конденсатора электроемкостью 4 и 1 мкФ соединены последовательно и подключены

Условие задачи:

Два конденсатора электроемкостью 4 и 1 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения 220 В. Каково напряжение на конденсаторе меньшей емкости?

Задача №6.4.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=4\) мкФ, \(C_2=1\) мкФ, \(U=220\) В, \(U_2-?\)

Решение задачи:

Для начала запишем формулу электроемкости:

\[C = \frac{q}{U}\]

Выразим из этой формулы заряд \(q\):

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Пусть \(U_1\) — напряжение на первом конденсаторе, а \(U_2\) — напряжение на втором. Известно, что при последовательном соединении конденсаторов заряд на их обкладках одинаковый, а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов. Учитывая все написанное и пользуясь формулой (1), получим такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1}{U_1} = {C_2}{U_2} \hfill \\
U = {U_1} + {U_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего равенства системы выразим напряжение \(U_1\):

\[{U_1} = {U_2}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\]

Полученное выражение подставим в нижнее равенство системы:

\[U = {U_2}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} + {U_2}\]

\[U = {U_2}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{{{C_1}}}\]

Откуда искомое напряжение на втором конденсаторе \(U_2\) (который имеет меньшую емкость) равно:

\[{U_2} = \frac{{U{C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Задача решена, посчитаем численный ответ:

\[{U_2} = \frac{{220 \cdot 4 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 6}} + 1 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 176\;В = 0,176\;кВ\]