Решение: Четыре одинаковых заряда 40 мкКл расположены в вершинах квадрата со стороной

Условие задачи:

Четыре одинаковых заряда 40 мкКл расположены в вершинах квадрата со стороной $a=2$ м. Какова будет напряженность поля на расстоянии $2a$ от центра квадрата на продолжении диагонали?

Задача №6.2.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$q=40$ мкКл, $a=2$ м, $L=2a$ , $E-?$

Решение задачи:

Начнём решать задачу издалека, пусть $l$ — это половина длины диагонали квадрата. Длину диагонали квадрата можно найти по теореме Пифагора, поэтому:

$l = \frac{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\;\;\;\;(1)$

Назовём точку на расстоянии $2a$ от центра квадрата на продолжении диагонали — точкой A.

Самый ближний заряд $q$ находится от точки A на расстоянии $L_1$ , которое, очевидно, можно определить из выражения:

${L_1} = L — l$

Учитывая (1) и то, что по условию $L=2a$ , получим:

${L_1} = 2a — \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$

${L_1} = \frac{{a\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}}{2}\;\;\;\;(2)$

Два заряда $q$ , лежащие по обе стороны от указанной в условии диагонали, находятся от точки A на расстоянии $L_2$ , которое можно найти по теореме Пифагора:

$L_2^2 = {L^2} + {l^2}$

Аналогично, учитывая (1) и то, что по условию $L=2a$ , получим:

$L_2^2 = 4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}$

$L_2^2 = \frac{{9{a^2}}}{2}\;\;\;\;(3)$

В данном случае квадратный корень можно и не извлекать.

Самый дальний заряд $q$ находится от точки A на расстоянии $L_3$ , которое легко найдём по такой очевидной формуле:

${L_3} = L + l$

${L_3} = 2a + \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$

${L_3} = \frac{{a\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\;\;\;\;(4)$

Отлично, мы определились со всеми расстояниями, теперь перейдём к напряженностям. Очевидно, что напряженности полей, создаваемых самым ближним и дальним зарядами $q$ , будут направлены по диагонали, причём модули напряженностей (принимая во внимания равенства (2) и (4)) можно будет найти по таким формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {E_1} = \frac{{4kq}}{{{a^2}{{\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}^2}}} \hfill \\ {E_3} = \frac{{4kq}}{{{a^2}{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Каждый из двух зарядов $q$ , лежащих по обе стороны от диагонали, будут создавать в точке A электрическое поле напряженностью $E_0$ , модуль которой равен (учитывая равенство (3)):

${E_0} = \frac{{kq}}{{L_2^2}} = \frac{{2kq}}{{9{a^2}}}$

Поскольку эти два заряда имеют равный заряд и находятся на одинаковом расстоянии от точки A, то они будут создавать в этой точке суммарное электростатическое поле, напряженность которого $E_2$ также направлена по диагонали. Модуль напряженности $E_2$ можно найти по такой формуле (по сути — это сумма проекций напряженностей от этих зарядов на продолжение диагонали):

${E_2} = 2{E_0}\cos \alpha$

Косинус угла $\alpha$ легко найти, используя схему к решению и теорему Пифагора:

$\cos \alpha = \frac{L}{{\sqrt {{L^2} + {l^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{3a}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Поэтому:

${E_2} = 2 \cdot \frac{{2kq}}{{9{a^2}}} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

${E_2} = \frac{{8\sqrt 2 kq}}{{27{a^2}}}$

В итоге, поскольку все напряженности $E_1$ , $E_2$ и $E_3$ лежат на одной прямой и сонаправлены, то:

$E = {E_1} + {E_2} + {E_3}$

$E = \frac{{4kq}}{{{a^2}{{\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{4kq}}{{{a^2}{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{8\sqrt 2 kq}}{{27{a^2}}}$

$E = \frac{{4kq}}{{{a^2}}}\left( {\frac{1}{{{{\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{27}}} \right)$

Произведём некоторые математические преобразования:

$E = \frac{{4kq}}{{{a^2}}}\left( {\frac{{{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{{\left( {4 — \sqrt 2 } \right)}^2}{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{27}}} \right)$

$E = \frac{{4kq}}{{{a^2}}}\left( {\frac{{18 + 8\sqrt 2 + 18 — 8\sqrt 2 }}{{196}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{27}}} \right)$

$E = \frac{{4kq}}{{{a^2}}}\left( {\frac{9}{{49}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{27}}} \right)$

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем численный ответ к задаче:

$E = \frac{{4 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot 40 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{{2^2}}}\left( {\frac{9}{{49}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{27}}} \right) = 103834,8\;В/м \approx 104\;кВ/м$