Решение: Мальчик, стоя на Земле, бросает камень горизонтально со скоростью 5 м/с

Условие задачи:

Мальчик, стоя на Земле, бросает камень горизонтально со скоростью 5 м/с. Какую скорость он может сообщить камню, совершая при броске ту же работу, стоя на гладком льду? Масса мальчика 49 кг, камня — 1 кг.

Задача №2.10.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_0=5$ м/с, $M=49$ кг, $m=1$ кг, $\upsilon-?$

Решение задачи:

Стоя на земле, мальчик сообщает скорость $\upsilon_0$ камню (кинетическую энергию), вследствие чего он совершает работу, равную:

$A = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\;\;\;\;(1)$

Если ж мальчик будет стоять на льду, то при броске он сам не сможет оставаться неподвижным, т.е. сообщая скорость $\upsilon$ камню, он и сам приобретет скорость $u$ . Тогда работа мальчика будет равна:

$A = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{M{u^2}}}{2}\;\;\;\;(2)$

Обратите внимание, что $\upsilon < {\upsilon _0}$ .

Запишем закон сохранения импульса для этого случая, откуда найдем скорость отката $u$ мальчика:

$0 = m\upsilon — Mu$

$u = \frac{{m\upsilon }}{M}\;\;\;\;(3)$

Подставим выражение (3) в формулу (2):

$A = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{M}{2} \cdot \frac{{{m^2}{\upsilon ^2}}}{{{M^2}}} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{{m^2}{\upsilon ^2}}}{{2M}}$

$A = \frac{{m{\upsilon ^2}\left( {M + m} \right)}}{{2M}}\;\;\;\;(4)$

Так как работы в обоих случаях равны, то можем приравнять (1) и (4):

$\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = \frac{{m{\upsilon ^2}\left( {M + m} \right)}}{{2M}}$

${\upsilon ^2} = \frac{{\upsilon _0^2M}}{{M + m}}$

$\upsilon = {\upsilon _0}\sqrt {\frac{M}{{M + m}}}$

Посчитаем ответ:

$\upsilon = 5\sqrt {\frac{{49}}{{49 + 1}}} = 4,95\; м/с = 17,82\; км/ч$