Решение: Люстра массой 10 кг висит на цепи, прочность которой 196 Н. На какой максимальный угол

Условие задачи:

Люстра массой 10 кг висит на цепи, прочность которой 196 Н. На какой максимальный угол можно отклонить люстру от положения равновесия, чтобы при последующих качаниях люстры цепь не оборвалась? (\(g=9,8\) м/с²)

Задача №2.4.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=10\) кг, \(T_{max}=196\) Н, \(g=9,8\) м/с², \(\alpha_{max}-?\)

Решение задачи:

Решим задачу в общем виде. Пусть изначально люстру с цепью отклоняют на угол \(\alpha\), при этом требуется определить силу натяжения \(T\), когда цепь составляет с вертикалью угол \(\varphi\). Запишем для этого положения второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\):

\[T — mg \cdot \cos \varphi = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Обозначим длину цепи равной \(l\). Пусть в этой точке скорость люстры равна \(\upsilon\), тогда центростремительное ускорение \(a_ц\) в этой точке найдем по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\]

Тогда равенство (1) примет вид:

\[T — mg \cdot \cos \varphi = m\frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\]

\[T = m\left( {g \cdot \cos \varphi + \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Также воспользуемся законом сохранения для положения 1 и 2:

\[mgH = mgh + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Из схемы видно, что:

\[H = l\left( {1 — \cos \alpha } \right)\]

\[h = l\left( {1 — \cos \varphi } \right)\]

Тогда:

\[mgl\left( {1 — \cos \alpha } \right) = mgl\left( {1 — \cos \varphi } \right) + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[mgl\left( {\cos \varphi — \cos \alpha } \right) = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[{\upsilon ^2} = 2gl\left( {\cos \varphi — \cos \alpha } \right)\]

Полученное подставим в формулу (2):

\[T = m\left( {g \cdot \cos \varphi + \frac{{2gl\left( {\cos \varphi — \cos \alpha } \right)}}{l}} \right)\]

\[T = mg\left( {3\cos \varphi — 2\cos \alpha } \right)\]

Поработаем над этой формулой. Видно, что при любом фиксированном угле \(\alpha\), максимальная сила натяжения цепи наблюдается, когда косинус угла \(\varphi\) равен единице, т.е. угол \(\varphi\) равен 0°. Это момент, когда люстра проходит положение равновесия.

\[{T_{max}} = mg\left( {3 — 2\cos {\alpha _{max}}} \right)\]

\[3 — 2\cos {\alpha _{max}} = \frac{{{T_{max}}}}{{mg}}\]

\[{\alpha _{max}} = \arccos \left( {\frac{3}{2} — \frac{{{T_{max}}}}{{2mg}}} \right)\]

Задача решена в общем виде, теперь считаем ответ.

\[{\alpha _1} = \arccos \left( {\frac{3}{2} — \frac{{196}}{{2 \cdot 10 \cdot 9,8}}} \right) = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\]