Ванну емкостью 100 литров необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30 C

Условие задачи:

Ванну емкостью 100 литров необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30 °C, используя воду с температурой 80 °C и лед с температурой, равной -20 °C. Найти массу льда, который необходимо положить в ванну.

Задача №5.1.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=100\) л, \(t=30^\circ\) C, \(t_1=80^\circ\) C, \(t_2=-20^\circ\) C, \(m_2-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}\]

В этой формуле:

• \(Q_1\) — количество теплоты, отданное горячей водой некоторой массы \(m_1\) при охлаждении от температуры \(t_1\) до температуры \(t\);
• \(Q_2\) — количество теплоты, необходимое для нагревания льда некоторой массы \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры плавления \(t_п\) (\(t_п=0^\circ\) C);
• \(Q_3\) — количество теплоты, необходимо для плавления льда массой \(m_2\);
• \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое для нагревания воды, получившейся при таянии льда, от температуры \(t_п\) до температуры \(t\).

Распишем указанные количества теплоты по известным формулам, тогда получим такое равенство:

\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

Удельная теплоёмкость льда \(c_л\) равна 2100 Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость воды \(c_в\) равна 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда \(\lambda\) равна 330 кДж/кг.

Нам неизвестна масса горячей воды \(m_1\). Чтобы выразить её, воспользуемся тем фактом, что сумма объема горячей воды \(V_1\) и объема воды \(V_2\), получившейся при таянии льда, равна объему ванны \(V\).

\[V = {V_1} + {V_2}\]

Домножим обе части на плотность воды \(\rho\) (она равна 1000 кг/м³), тогда:

\[\rho V = \rho {V_1} + \rho {V_2}\]

\[\rho V = {m_1} + {m_2}\]

\[{m_1} = \rho V — {m_2}\]

Подставим это выражение в полученное выше равенство:

\[{c_в}\left( {\rho V — {m_2}} \right)\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

\[{c_в}\rho V\left( {{t_1} — t} \right) — {c_в}{m_2}\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

Перенесем все члены с множителем \(m_2\) в правую часть, где вынесем его за скобки.

\[{c_в}\rho V\left( {{t_1} — t} \right) = {c_в}{m_2}\left( {{t_1} — t} \right) + {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

\[{c_в}\rho V\left( {{t_1} — t} \right) = {m_2}\left( {{c_в}\left( {{t_1} — t} \right) + {c_л}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda  + {c_в}\left( {t — {t_п}} \right)} \right)\]

\[{c_в}\rho V\left( {{t_1} — t} \right) = {m_2}\left( {{c_в}\left( {{t_1} — {t_п}} \right) + {c_л}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda } \right)\]

В итоге мы получим такую окончательную формулу:

\[{m_2} = \frac{{{c_в}\rho V\left( {{t_1} — t} \right)}}{{{c_в}\left( {{t_1} — {t_п}} \right) + {c_л}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda }}\]

Переведём объем из литров в кубические метры:

\[100\;л = 0,1\;м^3\]

Произведём расчет численного ответа:

\[{m_2} = \frac{{4200 \cdot 1000 \cdot 0,1 \cdot \left( {80 — 30} \right)}}{{4200 \cdot \left( {80 — 0} \right) + 2100 \cdot \left( {20 — 0} \right) + 330 \cdot {{10}^3}}} = 29,7\;кг\]

Ответ: 29,7 кг.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

5.1.44 Теплоизолированный сосуд разделен на две части перегородкой, не проводящей тепла
5.1.46 В калориметр налили 500 г воды, имеющей температуру 40 C, и положили кусок льда
5.1.47 В сосуд, содержащий 1 кг льда при температуре 0 C, влили 330 г воды при температуре 50 C