Решение: Слой льда толщиной 4,2 см имеет температуру 0 C. Какова минимальная толщина слоя воды

Условие задачи:

Слой льда толщиной 4,2 см имеет температуру 0 °C. Какова минимальная толщина слоя воды при температуре 306 К, которую нужно налить на лед, чтобы он весь растаял?

Задача №5.1.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=4,2\) см, \(t_1=0^\circ\) C, \(T_2=306\) К, \(h-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2}\]

В этом равенстве \(Q_1\) — количество теплоты, необходимое для плавления льда некоторой массы \(m_1\), \(Q_2\) — количество теплоты, выделяемое при охлаждении воды некоторой массы \(m_2\) от температуры \(T_2\) до температуры плавления льда \(T_п\) (\(T_п=273\) К). Распишем эти количества теплоты, тогда получим такое равенство:

\[\lambda {m_1} = c{m_2}\left( {{T_2} — {T_п}} \right)\]

Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) равна 330 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды \(c\) — 4200 Дж/(кг·°C).

Распишем массы льда и воды через их плотности и объемы, при этом будем считать, что площади льда и воды одинаковы.

\[\lambda {\rho _л}SH = c{\rho _в}Sh\left( {{T_2} — {T_п}} \right)\]

Плотность льда \(\rho_л\) равна 900 кг/м³, плотность воды \(\rho_в\) равна 1000 кг/м³.

\[\lambda {\rho _л}H = c{\rho _в}h\left( {{T_2} — {T_п}} \right)\]

\[h = \frac{{\lambda {\rho _л}H}}{{c{\rho _в}\left( {{T_2} — {T_п}} \right)}}\]

Задача решена в общем виде. Чтобы получить численный ответ, переведём высоту слоя льда \(H\) в метры:

\[4,2\;см = 0,042\;м\]

Произведём вычисления:

\[h = \frac{{330 \cdot {{10}^3} \cdot 900 \cdot 0,042}}{{4200 \cdot 1000 \cdot \left( {306 — 273} \right)}} = 0,09\;м = 9\;см\]