Решение: Один моль идеального одноатомного газа находится при нормальных условиях. Какое

Условие задачи:

Один моль идеального одноатомного газа находится при нормальных условиях. Какое количество теплоты надо сообщить газу, чтобы провести процесс, показанный на рисунке? \(n=1,2\).

Задача №5.5.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(n=1,2\), \(Q-?\)

Решение задачи:

Воспользуемся первым законом термодинамики:

\[Q = \Delta U + A\;\;\;\;(1)\]

Изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) определим по известной формуле:

\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\left( {{T_2} — {T_1}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Чтобы определить конечную температуру газа \(T_2\), запишем для газа в состояниях 1 и 2 уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0}{V_0} = \nu R{T_1} \;\;\;\;(3)\hfill \\
n{p_0} \cdot n{V_0} = \nu R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Нижнее уравнение системы поделим на верхнее, тогда:

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {n^2}\]

\[{T_2} = {n^2}{T_1}\]

Тогда формула (2) станет такой:

\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\left( {{n^2}{T_1} — {T_1}} \right) = \frac{3}{2}\nu R{T_1}\left( {{n^2} — 1} \right)\;\;\;\;(4)\]

Работа газа \(A\) равна площади фигуры под графиком процесса (на схеме к решению — заштриховано). Эта фигура является трапецией, её площадь (а, следовательно, и работу) найдём по формуле:

\[A = \frac{1}{2}\left( {{p_0} + n{p_0}} \right)\left( {n{V_0} — {V_0}} \right)\]

\[A = \frac{1}{2}{p_0}{V_0}\left( {n + 1} \right)\left( {n — 1} \right)\]

\[A = \frac{1}{2}{p_0}{V_0}\left( {{n^2} — 1} \right)\]

А учитывая уравнение (3), имеем:

\[A = \frac{1}{2}\nu R{T_1}\left( {{n^2} — 1} \right)\;\;\;\;(5)\]

В формулу (1) подставим полученные выражения (4) и (5):

\[Q = \frac{3}{2}\nu R{T_1}\left( {{n^2} — 1} \right) + \frac{1}{2}\nu R{T_1}\left( {{n^2} — 1} \right)\]

\[Q = 2\nu R{T_1}\left( {{n^2} — 1} \right)\]

Нормальным условиям соответствует температура \(T_1\), равная 273 К (0 °C). Посчитаем ответ:

\[Q = 2 \cdot 1 \cdot 8,31 \cdot 273 \cdot \left( {{{1,2}^2} — 1} \right) = 1996,1\;ДЖ\]