Условие задачи:
Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной 60 см опускают в сосуд с ртутью на 1/3 длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают ее из ртути. Какова длина оставшегося в трубке столбика ртути, если атмосферное давление нормальное?
Задача №4.3.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(L=60\) см, \(h-?\)
Решение задачи:
На сайте уже приводилось решение подобной задачи. Для начала приведем рисунок, поясняющий решение. На нем слева изображен момент, когда закрыли верхний конец трубки, а справа – когда трубку уже полностью вынули из жидкости. В процессе подъема трубки из ртути температура газа, запертого в трубке между ртутью и пальцем, не будет изменяться (\(T=const\)). Поэтому мы имеем полное право записать закон Бойля-Мариотта. Также запишем закон Паскаля, поскольку на правой части рисунка видно, что атмосферное давление равно сумме давления газа и гидростатического давления столбика ртути.
\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0}\frac{{2L}}{3} = {p_1}\left( {L – h} \right) \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_1} + \rho gh = {p_0} \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Выразим из первого равенства \(p_1\) и подставим его во второе.
\[{p_0}\frac{{2L}}{{3\left( {L – h} \right)}} + \rho gh = {p_0}\]
Домножим обе части уравнения на \({3\left( {L – h} \right)}\) и приведем подобные слагаемые.
\[3\rho g{h^2} – 3\left( {{p_0} + \rho gL} \right)h + {p_0}L = 0\]
Получить ответ в общем виде будет сложно, поэтому подставим в это квадратное уравнение численно исходные данные в системе измерения СИ. Это делается для того, чтобы при решении этого уравнения мы получили ответ также в системе СИ.
\[408000{h^2} – 544800h + 60000 = 0\]
\[4080{h^2} – 5448h + 600 = 0\]
\[D = {5448^2} – 4 \cdot 4080 \cdot 600 = 19888704\]
\[h = \frac{{5448 \pm \sqrt {19888704} }}{{2 \cdot 4080}}\]
\[\left[ \begin{gathered}
h = 1,21 \; м \hfill \\
h = 0,12 \; м \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Первый корень не может быть решением, поскольку длина столбика ртути не может быть длиннее самой трубки.
Ответ: 0,12 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
4.3.37 Посередине откачанной и запаянной с обоих сторон горизонтально
4.3.39 В трубке длиной 1,73 м, заполненной газом, находится столбик ртути
4.3.40 В каком из изображенных на рисунке процессов, проведенных
Можно было произведение членов перед “аш” в квадрате обозначить через “а”,дальше через ” в” и свободный член через “с”и решить как квадратное уравнение!!!
А в чем смысл? Все итак знают, что решением квадратного уравнения \(a{x^2} + bx + c = 0\) при положительном дискриминанте является:\[x = \frac{{ – b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]Всё равно же для расчета дискриминанта Вам придется делать обратную подстановку, какой смысл этой замены?
Я могу привести решение этой задачи в общем виде, но оно “некрасивое” (смотрите сами):\[h = \frac{{3\left( {{p_0} + \rho gL} \right) \pm \sqrt {9{{\left( {{p_0} + \rho gL} \right)}^2} – 12{p_0}\rho gL} }}{{6\rho g}}\]
Очень оригинальное решение.Понравилось практически все. Просто,понятно,доходчиво.За 48 лет работы в школе такого не встречал, хотя сам не однократно ее решал, но так решить не смикитил. Очень Вам благодарен.
Серьезно? Спасибо за Ваши слова, но Вы меня очень сильно смутили.
Сам я не вижу ничего оригинального в решении, мне кажется, что всё довольно стандартно. Её ещё можно решить, если рассмотреть силы, которые действуют на столбик ртути, и записать условие равновесия, но мы там получим абсолютно такие же уравнения.
Почему в архимедовой силе вы не ставите коэффициент 1/3?
Где Вы в решении увидели Архимедову силу?
Почему,когда погрузили трубку в ртуть,на 2/3 длинны,то давление в трубке так и осталось атмосферное?Ведь объем уменьшился,соответственно давление должно увеличиться.Вот это момент мне не понятен.
Потому что трубку сначала опускают в ртуть на нужную длину, а затем уже закрывают трубку и поднимают – так написано в условии.
Так написано, что на 1/3
Аааааа, я поооняяял . Вы взяли верхнюю часть длины, тобишь 2/3 из 3, когда 1/3 занята ртутью
Да, нас ведь интересует какую часть объема трубки занимает воздух, поскольку именно над воздухом далее совершится изотермический процесс.