Решение: Рентгеновская трубка, работающая под напряжением 50 кВ и потребляющая ток 1 мА

Условие задачи:

Рентгеновская трубка, работающая под напряжением 50 кВ и потребляющая ток 1 мА, излучает в секунду 2·10¹³ фотонов со средней длиной волны 0,10 нм. Определите КПД трубки.

Задача №11.3.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=50\) кВ, \(I=1\) мА, \(t=1\) с, \(N=2 \cdot 10^{13}\), \(\lambda=0,10\) нм, \(\eta-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия (КПД) рентгеновской трубки \(\eta\) будет находить как отношение полезной работы \(A_п\) к затраченной работе \(A_з\). Поэтому:

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Начнем с затраченной работы \(A_з\). Учитывая, что трубка работает под напряжением \(U\) и потребляет ток \(I\), то за время \(t\) ток совершает работу (трубка потребляет энергию), равную:

\[{A_з} = UIt\;\;\;\;(2)\]

Суммарная энергия всех фотонов, испущенных за время \(t\), есть полезная работа рентгеновской трубки \(A_п\). Если принять во внимание, что за это время трубка испускает \(N\) фотонов, то по формуле Планка имеем:

\[{A_п} = Nh\nu\;\;\;\;(3)\]

В этой формуле \(h\) — постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний испускаемых фотонов \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (2), тогда получим:

\[{A_п} = \frac{{Nhc}}{\lambda }\;\;\;\;(5)\]

Осталось только подставить выражения (2) и (5) в формулу (1):

\[\eta = \frac{{Nhc}}{{UIt\lambda }}\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\eta = \frac{{2 \cdot {{10}^{13}} \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8}}}{{50 \cdot {{10}^3} \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 1 \cdot 0,1 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 8 \cdot {10^{ — 4}} = 0,08\% \]