Условие задачи:
Шарик массой 5 г колеблется по закону \(x = 0,04\sin \left( {2\pi \left( {\frac{t}{T} + 0,5} \right)} \right)\), где \(x\) измеряется в метрах. Период колебаний 4 с. Чему равно максимальное значение силы, действующей на шарик?
Задача №9.3.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(m=5\) г, \(x = 0,04\sin \left( {2\pi \left( {\frac{t}{T} + 0,5} \right)} \right)\), \(T=4\) с, \(F_{\max}-?\)
Решение задачи:
Представим данное в условии уравнение колебаний в следующем виде (раскроем скобки в аргументе синуса, так легче искать производную):
\[x = 0,04\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T} + \pi } \right)\]
Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:
\[{x^\prime } = 0,04 \cdot \frac{{2\pi }}{T} \cdot \cos \left( {\frac{{2\pi t}}{T} + \pi } \right)\]
Теперь берем вторую производную:
\[{x^{\prime \prime }} = — 0,04 \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T} + \pi } \right)\]
То есть мы имеем:
\[a = — 0,04 \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T} + \pi } \right)\]
Очевидно, что ускорение примет своё максимальное по модулю значение, когда синус будет равен -1 или 1, поэтому:
\[{a_{\max }} = 0,04 \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\]
Максимальную возвращающую силу \(F_{\max}\) следует определять по формуле (это второй закон Ньютона):
\[{F_{\max }} = m{a_{\max }}\]
Поэтому:
\[{F_{\max }} = 0,04 \cdot \frac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}}\]
Посчитаем численный ответ:
\[{F_{\max }} = 0,04 \cdot \frac{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot 0,005}}{{{4^2}}} = 0,0005\;Н= 0,5\;мН\]
Ответ: 0,5 мН.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
9.2.24 В неподвижном лифте период собственных колебаний математического маятника
9.3.2 Шарик на пружине сместили на 1 см от положения равновесия и отпустили
9.3.3 Определить амплитуду колебаний, если для фазы 45 градусов смещение частицы