Условие задачи:

Определить минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Её плотность \(\rho=10^{17}\) кг/м3.

Задача №2.5.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rho=10^{17}\) кг/м3, \(T-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи "Определить минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Её плотность"Так как в задаче спрашивается минимальный период обращения, значит спутник движется вблизи поверхности звезды. В общем случае период обращения можно определить по формуле:

\[T = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(R\) — это радиус орбиты (звезды), \(\upsilon\) — это линейная скорость движения спутника.

Понятно, что сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

\[{F_т} = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) определим через скорость спутника \(\upsilon\) и радиус орбиты \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

\[{F_т} = G\frac{{Mm}}{{{R^2}}}\]

Масса звезды равна произведению её плотности на объем. Объем планеты найдем как объем шара:

\[M = \rho  \cdot V\]

\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]

Поэтому:

\[M = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho \]

Значит сила тяготения зависит от плотности таким образом:

\[{F_т} = \frac{4}{3}\pi G\frac{{\rho m{R^3}}}{{{R^2}}}\]

\[{F_т} = \frac{4}{3}\pi G\rho mR\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражения (3) и (4) в равенство (2):

\[\frac{4}{3}\pi G\rho mR = m\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\]

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{R^2}}} = \frac{4}{3}\pi G\rho \]

\[\frac{\upsilon }{R} = 2\sqrt {\frac{{\pi G\rho }}{3}} \]

Полученное нужно подставить в формулу определения периода (1).

\[T = \pi \sqrt {\frac{3}{{\pi G\rho }}} \]

Задача решена в общем виде. Считаем ответ:

\[T = 3,14\sqrt {\frac{3}{{3,14 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot {{10}^{17}}}}}  = 1,19 \cdot {10^{ — 3}}\; с \approx 1,2\; мс\]

Ответ: 1,2 мс.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделиться ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Комментарии

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>