Решение: Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту. Кинетическая энергия камня в верхней

Условие задачи:

Камень брошен под углом 30° к горизонту. Кинетическая энергия камня в верхней точке траектории 45 Дж. Чему равна в этой точке потенциальная энергия камня?

Задача №2.7.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=30^\circ\), \(E_{к}=45\) Дж, \(E_п-?\)

Решение задачи:

Так как сопротивление воздуха отсутствует, то согласно закону сохранения энергии:

\[{E_{к0}} = {E_к} + {E_п}\]

Здесь \(E_{к0}\) – начальная кинетическая энергия, а \(E_к\) и \(E_п\)– соответственно кинетическая и потенциальная энергии в верхней точке траектории.

Значит:

\[{E_п} = {E_{к0}} – {E_к}\;\;\;\;(1)\]

Понятно, что скорость камня в верхней точке равна проекции начальной скорости \(\upsilon_0\) на ось \(x\):

\[\upsilon = {\upsilon _0}\cos \alpha \]

Тогда:

\[{E_{к0}} = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\]

\[{E_к} = \frac{{m\upsilon _0^2{{\cos }^2}\alpha }}{2}\;\;\;\;(2)\]

Формула (1) примет вид:

\[{E_п} = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2} – \frac{{m\upsilon _0^2{{\cos }^2}\alpha }}{2} = \frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\left( {1 – {{\cos }^2}\alpha } \right)\]

Согласно основному тригонометрическому тождеству \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), поэтому \(1 – {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha\). Значит:

\[{E_п} = \frac{{m\upsilon _0^2{{\sin }^2}\alpha }}{2}\]

Домножим и поделим дробь на \({\cos ^2}\alpha\):

\[{E_п} = \frac{{m\upsilon _0^2{{\sin }^2}\alpha }}{2} \cdot \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]

Принимая во внимание равенство (2), получим:

\[{E_п} = {E_к} \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {E_к} \cdot t{g^2}\alpha \]

Посчитаем ответ:

\[{E_п} = 45 \cdot t{g^2}30^\circ = 15\;Дж\]