Решение: Тепловой двигатель работает по циклу Карно. Количество теплоты, отдаваемое

Условие задачи:

Тепловой двигатель работает по циклу Карно. Количество теплоты, отдаваемое холодильнику, равно 20 кДж. Определите, какое количество теплоты будет передаваться холодильнику, если температура холодильника уменьшится в 2 раза.

Задача №5.5.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(Q_{х1}=20\) кДж, \(T_{х2}=\frac{1}{2}T_{х1}\), \(Q_{х2}-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя \(\eta\) (то есть работающего по циклу Карно) можно определить сразу по двум следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
\eta = \frac{{{T_н} — {T_х}}}{{{T_н}}} \hfill \\
\eta = \frac{{{Q_н} — {Q_х}}}{{{Q_н}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим почленно числитель на знаменатель в правых частях этих формул:

\[\left\{ \begin{gathered}
\eta = 1 — \frac{{{T_х}}}{{{T_н}}} \hfill \\
\eta = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_н}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[1 — \frac{{{T_х}}}{{{T_н}}} = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_н}}}\]

\[\frac{{{T_х}}}{{{T_н}}} = \frac{{{Q_х}}}{{{Q_н}}}\]

\[\frac{{{Q_н}}}{{{T_н}}} = \frac{{{Q_х}}}{{{T_х}}}\]

Запишем это отношение для моментов до и после изменения температуры холодильника \(T_{х}\) (и передаваемого холодильнику количества теплоты \(Q_{х}\)). Температура нагревателя \(T_{н}\) и количество теплоты \(Q_{н}\), отдаваемого им, при этом не меняется.

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{{Q_н}}}{{{T_н}}} = \frac{{{Q_{х1}}}}{{{T_{х1}}}} \hfill \\
\frac{{{Q_н}}}{{{T_н}}} = \frac{{{Q_{х2}}}}{{{T_{х2}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\frac{{{Q_{х1}}}}{{{T_{х1}}}} = \frac{{{Q_{х2}}}}{{{T_{х2}}}}\]

\[{Q_{х2}} = {Q_{х1}}\frac{{{T_{х2}}}}{{{T_{х1}}}}\]

По условию задачи температура холодильника уменьшится в 2 раза, то есть \(T_{х2}=0,5T_{х1}\), поэтому:

\[{Q_{х2}} = {Q_{х1}}\frac{{0,5{T_{х1}}}}{{{T_{х1}}}}\]

\[{Q_{х2}} = 0,5{Q_{х1}}\]

Произведём вычисления:

\[{Q_{х2}} = 0,5 \cdot 20 \cdot {10^3} = 10000\;Дж = 10\;кДж\]