Решение: При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля ударилась о неупругое тело

Условие задачи:

При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля ударилась о неупругое тело и расплавилась. На какой высоте произошло это столкновение, если начальная скорость пули 510 м/с, а температура 27 °C. 50% выделившейся теплоты пошло на нагревание.

Задача №5.3.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_0=510$ м/с, $t_0=27^\circ$ C, $\alpha=50\%$ , $h-?$

Решение задачи:

Выберем нуль потенциальной энергии на уровне начального положения пули.

Начальная кинетическая энергия пули $E_{к0}$ перейдёт на высоте $h$ (то есть перед ударом) в потенциальную энергию $E_{п}$ и кинетическую энергию $E_{к}$ . В момент удара о неупругое тело кинетическая энергия $E_{к}$ перейдёт в теплоту $Q$ , часть которой увеличивает внутреннюю энергию пули (из-за этого она и плавится). Запишем закон сохранения энергии для двух описанных случаев:

$\left\{ \begin{gathered} {E_{к0}} = {E_п} + {E_к} \hfill \\ {E_к} = Q \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Очевидно, что два этих уравнения можно записать в виде одного:

${E_{к0}} = {E_п} + Q\;\;\;\;(1)$

Обратите внимание, что $Q$ — это полное выделившееся количество теплоты. По условию лишь 50% ( $\alpha$ часть) выделившейся теплоты пошло на нагревание пули, поэтому справедливо:

${Q_1} = \alpha Q\;\;\;\;(2)$

С другой стороны, чтобы расплавить пулю, её необходимо сначала нагреть до температуры плавления ( $t_п=327^\circ$ C). Поэтому количество теплоты $Q_1$ также можно выразить следующим способом:

${Q_1} = cm\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda m\;\;\;\;(3)$

Здесь $c$ — удельная теплоёмкость свинца, равная 130 Дж/(кг·°C), $\lambda$ — удельная теплота плавления свинца, равная 25 кДж/кг.

Приравняем (2) и (3) и выразим $Q$ :

$\alpha Q = cm\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda m$

$Q = \frac{m}{\alpha }\left( {c\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda } \right)$

Получившееся выражение для количества теплоты $Q$ подставим в (1), также в равенстве (1) распишем начальную кинетическую энергию пули $E_{к0}$ и потенциальную энергию $E_{п}$ по известным формулам, тогда получим:

$\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = mgh + \frac{m}{\alpha }\left( {c\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda } \right)$

Обе части сократим на массу пули $m$ :

$0,5\upsilon _0^2 = gh + \frac{1}{\alpha }\left( {c\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda } \right)$

Осталось только выразить высоту $h$ :

$h = \frac{1}{g}\left( {0,5\upsilon _0^2 — \frac{1}{\alpha }\left( {c\left( {{t_п} — {t_0}} \right) + \lambda } \right)} \right)$

Посчитаем ответ, подставив значения всех величин в последнюю формулу (величины, данные в процентах, следует подставлять в долях единицы):

$h = \frac{1}{{10}}\left( {0,5 \cdot {{510}^2} — \frac{1}{{0,5}}\left( {130 \cdot \left( {327 — 27} \right) + 25 \cdot {{10}^3}} \right)} \right) = 205\;м$