Решение: При расширении одноатомного газа от 0,2 до 0,5 м3 его давление росло линейно

Условие задачи:

При расширении одноатомного газа от 0,2 до 0,5 м³ его давление росло линейно с объемом от 400 до 800 кПа соответственно. Какое количество теплоты было подведено к газу?

Задача №5.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_1=0,2\) м³, \(V_2=0,5\) м³, \(p_1=400\) кПа, \(p_2=800\) кПа, \(Q-?\)

Решение задачи:

График процесса, происходящего с газом, изображен на схеме.

Запишем первое начало термодинамики:

\[Q = \Delta U + A\;\;\;\;(1)\]

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа \(\Delta U\) определяют так:

\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\left( {{T_2} — {T_1}} \right) = \frac{3}{2}\left( {\nu R{T_2} — \nu R{T_1}} \right)\]

Запишем дважды уравнение Клапейрона-Менделеева для состояния газа в точках 1 и 2:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}{V_1} = \nu R{T_1} \hfill \\
{p_2}{V_2} = \nu R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда изменение внутренней энергии \(\Delta U\) можно будет определить по формуле:

\[\Delta U = \frac{3}{2}\left( {{p_2}{V_2} — {p_1}{V_1}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Работу газа \(A\) в процессе 1-2 можно найти как площадь фигуры под графиком этого процесса (на схеме — заштриховано). Кстати, эта работа положительна, так как объем газа увеличивается. Фигура под графиком представляет собой трапецию, её площадь найдём как полупроизведение суммы оснований на высоту.

\[A = \frac{1}{2}\left( {{p_1} + {p_2}} \right)\left( {{V_2} — {V_1}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), так мы получим решение задачи в общем виде:

\[Q = \frac{3}{2}\left( {{p_2}{V_2} — {p_1}{V_1}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{p_1} + {p_2}} \right)\left( {{V_2} — {V_1}} \right)\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[Q = \frac{3}{2}\left( {800 \cdot {{10}^3} \cdot 0,5 — 400 \cdot {{10}^3} \cdot 0,2} \right) + \frac{1}{2}\left( {400 \cdot {{10}^3} + 800 \cdot {{10}^3}} \right)\left( {0,5 — 0,2} \right) = 660000\;Дж = 0,66\;МДж\]