Решение: Один моль идеального газа, находящегося при температуре T0, нагревают. Какое

Условие задачи:

Один моль идеального газа, находящегося при температуре \(T_0\), нагревают. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы изобарически увеличить его объем втрое?

Задача №5.5.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(T_0\), \(p=const\), \(V_1=3V_0\), \(Q-?\)

Решение задачи:

Автор задачи не указал каким является газ, поэтому мы будем решать эту задачу из предположения, что он одноатомный.

Запишем первый закон термодинамики:

\[Q = \Delta U + A\;\;\;\;(1)\]

Изменение внутренней энергии одноатомного газа \(\Delta U\) определяют по формуле (у одноатомного газа — 3 степени свободы):

\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(2)\]

Если газ нагревать изобарно, то его объем будет увеличиваться (это видно из закона Гей-Люссака, смотрите ниже). Работу газа \(A\) при изобарном расширении можно найти по формуле:

\[A = p\left( {{V_1} — {V_0}} \right) = p{V_1} — p{V_0}\;\;\;\;(3)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояния рассматриваемого газа:

\[\left\{ \begin{gathered}
p{V_0} = \nu R{T_0} \hfill \\
p{V_1} = \nu R{T_1} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

С помощью этих уравнений формулу (3) можно переписать в виде:

\[A = \nu R{T_1} — \nu R{T_0} = \nu R\left( {{T_1} — {T_0}} \right)\]

\[A = \nu R\Delta T\;\;\;\;(4)\]

Полученные выражения (2) и (4) подставим в формулу (1), тогда:

\[Q = \frac{3}{2}\nu R\Delta T + \nu R\Delta T\]

\[Q = \frac{5}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(5)\]

Изменение температуры и объема в изобарном процессе описывается законом Гей-Люссака:

\[\frac{{{V_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}}\]

Выразим конечную температуру газа \(T_1\):