Решение: Двигатель работает по циклу Карно. Во сколько раз изменится его КПД, если при

Условие задачи:

Двигатель работает по циклу Карно. Во сколько раз изменится его КПД, если при постоянной температуре холодильника 17 °C температуру нагревателя повысить со 127 до 447 °C?

Задача №5.5.40 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_х=17^\circ\) C, \(t_{н1}=127^\circ\) C, \(t_{н2}=447^\circ\) C, \(\frac{\eta_2}{\eta_1}-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия двигателя \(\eta\) (КПД), работающего по циклу Карно, то есть являющегося идеальным, определяют по следующей формуле:

\[\eta = \frac{{{T_н} — {T_х}}}{{{T_н}}}\]

Обратите своё внимание на то, что температуры в этой формуле фигурируют в шкале абсолютных температур (то есть в Кельвинах).

Тогда начальный КПД двигателя \(\eta_1\) при температуре нагревателя \(T_{н1}\) и КПД двигателя \(\eta_2\) при температуре нагревателя \(T_{н2}\) можно определить соответственно по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\eta _1} = \frac{{{T_{н1}} — {T_х}}}{{{T_{н1}}}} \hfill \\
{\eta _2} = \frac{{{T_{н2}} — {T_х}}}{{{T_{н2}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Чтобы узнать во сколько раз изменится КПД, нужно найти отношение \(\frac{\eta_2}{\eta_1}\). Учитывая записанную выше систему, имеем:

\[\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{\left( {{T_{н2}} — {T_х}} \right){T_{н1}}}}{{\left( {{T_{н1}} — {T_х}} \right){T_{н2}}}}\]

Мы решили задачу в общем виде. Перед расчётом численного ответа, переведём температуры в Кельвины:

\[17^\circ\;C = 290\;К\]

\[127^\circ\;C = 400\;К\]

\[447^\circ\;C = 720\;К\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{\left( {720 — 290} \right) \cdot 400}}{{\left( {400 — 290} \right) \cdot 720}} = 2,17\]