Решение: Двигатель работает по циклу Карно. Во сколько раз изменится его КПД, если при

Условие задачи:

Двигатель работает по циклу Карно. Во сколько раз изменится его КПД, если при постоянной температуре холодильника 17 °C температуру нагревателя повысить со 127 до 447 °C?

Задача №5.5.40 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$t_х=17^\circ$ C, $t_{н1}=127^\circ$ C, $t_{н2}=447^\circ$ C, $\frac{\eta_2}{\eta_1}-?$

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия двигателя $\eta$ (КПД), работающего по циклу Карно, то есть являющегося идеальным, определяют по следующей формуле:

$\eta = \frac{{{T_н} — {T_х}}}{{{T_н}}}$

Обратите своё внимание на то, что температуры в этой формуле фигурируют в шкале абсолютных температур (то есть в Кельвинах).

Тогда начальный КПД двигателя $\eta_1$ при температуре нагревателя $T_{н1}$ и КПД двигателя $\eta_2$ при температуре нагревателя $T_{н2}$ можно определить соответственно по следующим формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {\eta _1} = \frac{{{T_{н1}} — {T_х}}}{{{T_{н1}}}} \hfill \\ {\eta _2} = \frac{{{T_{н2}} — {T_х}}}{{{T_{н2}}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Чтобы узнать во сколько раз изменится КПД, нужно найти отношение $\frac{\eta_2}{\eta_1}$ . Учитывая записанную выше систему, имеем:

$\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{\left( {{T_{н2}} — {T_х}} \right){T_{н1}}}}{{\left( {{T_{н1}} — {T_х}} \right){T_{н2}}}}$

Мы решили задачу в общем виде. Перед расчётом численного ответа, переведём температуры в Кельвины:

$17^\circ\;C = 290\;К$

$127^\circ\;C = 400\;К$

$447^\circ\;C = 720\;К$

Посчитаем ответ:

$\frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} = \frac{{\left( {720 — 290} \right) \cdot 400}}{{\left( {400 — 290} \right) \cdot 720}} = 2,17$