Условие задачи:

На одном из концов однородного стержня прикреплен груз массой 3 кг. Если стержень на расстоянии 1/5 его длины от груза подпереть, то он окажется в равновесии. Чему равна масса стержня?

Задача №3.1.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(M=3\) кг, \(l=\frac{L}{5}\), \(m-?\)

Решение задачи:

Изобразим схему для решения этой задачи и введем координатные оси, как показано на ней. Так как схема симметрична относительно оси \(x\), то одна из координат центра тяжести всей системы \(y_{цт}\) равна нулю.

Если стержень подпереть в некоторой точке и после этого он окажется в равновесии, значит в этой точке находится центр тяжести системы. Поэтому:

\[{x_{цт}} = L — l = L — \frac{L}{5}\]

\[{x_{цт}} = \frac{{4L}}{5}\;\;\;\;(1)\]

С другой стороны эту же координату центра тяжести можно найти по следующей формуле:

\[{x_{цт}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g} }}\]

Здесь \(m_i\) — это масса i-того тела, а \(x_i\) — координата центра масс i-того тела. Применительно к этой задаче имеем:

\[{x_{цт}} = \frac{{m \cdot g \cdot 0,5L + M \cdot g \cdot L}}{{m \cdot g + M \cdot g}}\]

\[{x_{цт}} = \frac{{\left( {m + 2M} \right)L}}{{2\left( {m + M} \right)}}\;\;\;\;(2)\]

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

\[\frac{{\left( {m + 2M} \right)L}}{{2\left( {m + M} \right)}} = \frac{{4L}}{5}\]

\[\frac{{m + 2M}}{{2\left( {m + M} \right)}} = \frac{4}{5}\]

Перемножим «крест — накрест»:

\[5m + 10M = 8m + 8M\]

\[2M = 3m\]

\[m = \frac{{2M}}{3}\]

Численно масса стержня равна:

\[m = \frac{{2 \cdot 3}}{3} = 2\;кг\]

Ответ: 2 кг.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.14 Три однородных шара массой 1, 2 и 2 кг укреплены на легко стержне. Центр 2-ого шара
3.1.16 Однородная доска массой 10 кг подперта на расстоянии 0,25 её длины от конца. Какую
3.1.17 Рабочий удерживает за один конец доску массой 50 кг. С горизонтальной поверхностью